九州大学 1987年度理系数学第5問解答・解説

問題

数字 $1, 2, \dots\dots, N$ $(N ≧ 3)$ を1つずつ書いた札が $N$ 枚箱の中に入っている．無作為に1枚の札を抜き出し，書かれている数字を確認してもとに戻す．この操作を3回続け，出てきた数字の最小数を $U$ ，最大数を $V$ とする．このとき，次の問に答えよ．

(1) $p (i, j)$ を事象 ${U = i, V = j}$ $(i, j = 1, 2, \dots\dots, N)$ の起こる確率とする． $p (1, 1)$ ， $p (1, 2)$ ， $p (1, 3)$ を求め，さらに一般の $p (1, j)$ $(2 ≦ j ≦ N)$ を求めよ．

(2) $R = V - U$ とし，事象 ${R = r}$ の起こる確率を $q (r)$ とする． $q (0)$ ， $q (1)$ ，および $q (r)$ $(1 ≦ r ≦ N - 1)$ を求めよ．

(3) $R$ の期待値（平均） $E (R)$ を求めよ．

出典：九州大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

3回の結果がすべて区間 $[i, j]$ に入り、かつ両端 $i, j$ が少なくとも1回ずつ出る、という形で $U = i, V = j$ を数える。 $(1)$ は $i = 1$ に固定して包除で数える。 $(2)$ は差 $R = r$ を固定し、最小値 $i$ が $1$ から $N - r$ まで動くことを使う。 $(3)$ は $q (r)$ を用いて $\sum r^{2} (N - r)$ を計算する。期待値は別解として $E (V) - E (U)$ からも確認できる。

解答

(1)

全事象は $N^{3}$ 通りである。

p (1, 1) = \frac{1}{N ^{3}} .

$U = 1, V = j$ では、3個の数が $1, \dots, j$ に入り、1と $j$ がともに現れる。したがって、 $2 ≦ j ≦ N$ に対し

p (1, j) = \frac{j ^{3} - 2 ( j - 1 ) ^{3} + ( j - 2 ) ^{3}}{N ^{3}} = \frac{6 ( j - 1 )}{N ^{3}} .

特に

p (1, 2) = \frac{6}{N ^{3}}, p (1, 3) = \frac{12}{N ^{3}} .

(2)

$R = 0$ は3個がすべて等しい場合だから

q (0) = \frac{N}{N ^{3}} = \frac{1}{N ^{2}} .

$1 ≦ r ≦ N - 1$ とする。最小値 $i$ は $1 ≦ i ≦ N - r$ を動く。固定した $i$ に対し、3個の数が $i, \dots, i + r$ に入り、両端がともに現れる場合は

(r + 1)^{3} - 2 r^{3} + (r - 1)^{3} = 6 r

通りである。よって

q (r) = \frac{6 r ( N - r )}{N ^{3}} .

特に $q (1) = \frac{6 ( N - 1 )}{N ^{3}}$ である。

(3)

(2)より

E (R) = \frac{6}{N ^{3}} r = 1 \sum N - 1 r^{2} (N - r) = \frac{6}{N ^{3}} {N \frac{( N - 1 ) N ( 2 N - 1 )}{6} - (\frac{( N - 1 ) N}{2})^{2}} = \frac{N ^{2} - 1}{2 N} .

したがって $E (R) = \frac{N ^{2} - 1}{2 N}$ である。

九州大学 1987年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1987年度
理系数学第5問