問題
だ円 上に点，軸上に点をとる．を満たすの内部をとする．このとき，次の問に答えよ．
(1) を軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．
(2) におけるの接線と軸との交点をとする．三角形を軸のまわりに回転してできる回転体の体積が，(1)で求めた体積と等しくなるを求めよ．
出典：九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
楕円上の点 について を最初に用意する。領域 は、上半分で見れば において直線 と楕円の上側に挟まれる部分なので、 軸まわりの回転体は外半径と内半径の二乗差を積分する。 は接線の 切片を求め、三角形 の回転体を底面半径 、高さ の円すいとして体積比較する。最後は に直して の解を選ぶ。
解答
(1)
点 は楕円 上にあるので である。したがって である。
上側の点を考えると、直線 は であり、楕円の上側は である。領域 は
で表される。下側の点の場合も、 軸まわりに回転すれば同じ体積になる。
したがって、 軸のまわりに回転してできる体積 は
である。積分すると となる。ここに を代入すると
である。
(2)
楕円 の点 における接線は である。 軸との交点 では だから である。よって である。
三角形 を 軸のまわりに回転してできる立体は、底面の半径が 、高さが の円すいである。したがってその体積は である。 を代入すると
である。
これが の体積と等しいから である。正の係数を消して を得る。ここで とおくと、 より であり、方程式は となる。整理して であるから である。 を満たすのは だけである。したがって である。