九州大学 1987年度
理系数学 第2問

解答

(1)

与えられた式で $x=0$ とすると、積分部分は0であるから $f(0)=1$ である。

次に両辺を $x$ で微分する。左辺は $\frac{d}{dx}\{(x^2+1)f(x)\}=2xf(x)+(x^2+1)f^{\prime }(x)$ である。右辺は積分の上端が $x$ なので $x^2{f}^{\prime }(x)+\frac{4x}{x^2+1}f(x)$ である。したがって $2xf(x)+(x^2+1)f^{\prime }(x)=x^2{f}^{\prime }(x)+\frac{4x}{x^2+1}f(x)$ となる。整理して

を得る。

ここで $g(x)=\frac{e^{x^2}}{(x^2+1{)}^2}f(x)$ とおく。すると積の微分により $\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$ に相当する係数は $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}+2x-\frac{4x}{x^2+1}$ であり、上で得た式から0になる。割り算を避けて直接微分しても同じく $g^{\prime }(x)=0$ が得られる。したがって $g(x)$ は定数である。$g(0)=f(0)=1$ だから $g(x)=1$ であり、$f(x)=(x^2+1{)}^2{e}^{-x^2}$ である。

(2)

$(1)$ の結果から $f(x)>0$ である。また $f^{\prime }(x)=\frac{2x(1-x^2)}{x^2+1}f(x)$ であり、$x^2+1>0$、$f(x)>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $x(1-x^2)$ の符号で決まる。

符号を調べると、$x<-1$ で $f^{\prime }(x)>0$、$-1<x<0$ で $f^{\prime }(x)<0$、$0<x<1$ で $f^{\prime }(x)>0$、$x>1$ で $f^{\prime }(x)<0$ である。したがって $x=-1,x=1$ で極大値をとり、$x=0$ で極小値をとる。

値は $f(-1)=f(1)=4e^{-1}=\frac{4}{e}$ であり、$f(0)=1$ である。よって $\text{極大値 }\frac{4}{e}\text{ を }x=\pm 1\text{ でとる}$ $\text{極小値 }1\text{ を }x=0\text{ でとる}$ である。