問題
初めに，袋の中に赤球2個，袋の中に白球2個が入っている．「から無作為に1個の球を取り出してに入れ，その後の中から無作為に1個の球を取り出してに戻す」という操作をくり返す．いま回操作した後に，の中に白球が0，1，2個入っているという事象を，それぞれ，，で表す．このとき，次の問に答えよ．
(1) 事象，，のそれぞれが起こる確率を求めよ．
(2) 事象，，のそれぞれが起こる確率を求めよ．
出典：九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第6問
方針
袋 の白球数だけを状態 として追う。1回の操作で、 から何色を移し、その後 から何色を戻すかを数えて遷移確率を作る。 は2回分を直接計算する。 は とおき、 が で一定になること、差 が毎回 倍になることを使って一般項を求める。
解答
(1)
袋 の中の白球数が 個である状態を、単に状態 と書く。全体では赤球2個、白球2個があるので、状態 のとき袋 には白球 個、赤球 個が入っている。
1回の操作での遷移確率を求める。状態0では、最初に から赤球を取り出すしかない。その後 には白球2個、赤球1個が入っているので である。状態1では、場合分けにより である。状態2では状態0と対称に である。
初めは状態0である。1回後の確率は である。さらに1回操作すると であり、 であり、 である。したがって
である。
(2)
とおく。上で求めた遷移確率から である。
まず2番目の式より である。したがって では である。
次に差をとると である。初めは 、 なので である。よって となる。 では、和と差 から である。したがって である。ただし である。初期状態は 、 である。