九州大学 1987年度文系数学第4問解答・解説

問題

1辺の長さが1であるような正四面体の頂点を $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ とする．辺 $A B$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を $E$ ，辺 $A C$ を $(1 - t) : t$ に内分する点を $F$ とする．このとき，次の問に答えよ．

(1) ベクトル $e = D E$ ， $f = D F$ の長さと内積 $e \cdot f$ を $t$ で表せ．

(2) $θ = ∠ E D F$ とする． $0 < t < 1$ のとき， $cos θ$ の動く範囲を求めよ．

出典：九州大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系第4問

方針

頂点 $D$ を基準にして、 $D A, D B, D C$ の長さと内積を先に固定する。正四面体では3本の辺のなす角がすべて $6 0^{\circ}$ なので、相互の内積は $1/2$ になる。内分点 $E, F$ をこの3本のベクトルで表し、長さと内積を計算する。 $cos θ$ は1変数関数になるため、微分で増減と端の近づき方を調べて範囲を決める。

解答

(1)

D A = u, D B = v, D C = w

とおく。正四面体の一辺は1であり、三角形 $D A B$ 、 $D B C$ 、 $D C A$ はいずれも正三角形である。したがって

∣ u ∣ = ∣ v ∣ = ∣ w ∣ = 1, u \cdot v = v \cdot w = w \cdot u = \frac{1}{2}

である。

点 $E$ は辺 $A B$ を $t : (1 - t)$ に内分するので $D E = (1 - t) u + t v$ である。また点 $F$ は辺 $A C$ を $(1 - t) : t$ に内分するので $D F = t u + (1 - t) w$ である。よって

e = (1 - t) u + t v, f = t u + (1 - t) w

である。

まず長さを計算する。 $∣ e ∣^{2} = (1 - t)^{2} + t^{2} + 2 t (1 - t) \cdot \frac{1}{2} = 1 - t + t^{2}$ である。同じ計算で $∣ f ∣^{2} = 1 - t + t^{2}$ となる。したがって $∣ e ∣ = ∣ f ∣ = 1 - t + t^{2}$ である。

次に内積は

e \cdot f = t (1 - t) + (1 - t)^{2} \cdot \frac{1}{2} + t^{2} \cdot \frac{1}{2} + t (1 - t) \cdot \frac{1}{2}

である。整理すると $e \cdot f = \frac{1 + t - t ^{2}}{2}$ である。よって $e \cdot f = \frac{1 + t - t ^{2}}{2}$ である。

(2)

$(1)$ より

cos θ = \frac{e \cdot f}{∣ e ∣∣ f ∣} = \frac{1 + t - t ^{2}}{2 ( 1 - t + t ^{2} )}

である。これを $h (t) = \frac{1 + t - t ^{2}}{2 ( 1 - t + t ^{2} )}$ とおく。

微分すると $h^{'} (t) = \frac{1 - 2 t}{( 1 - t + t ^{2} ) ^{2}}$ である。分母は常に正なので、 $0 < t < 1/2$ で増加し、 $1/2 < t < 1$ で減少する。したがって最大値は $t = 1/2$ のときで

h (\frac{1}{2}) = \frac{1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}}{2 ( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} )} = \frac{5}{6}

である。

一方、 $t$ は $0 < t < 1$ を動くので端点 $t = 0, 1$ は含まれない。 $t \to 0 + 0$ または $t \to 1 - 0$ のとき $h (t) \to \frac{1}{2}$ である。したがって $\frac{1}{2} < cos θ ≦ \frac{5}{6}$ が求める範囲である。

九州大学 1987年度文系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1987年度
文系数学第4問