九州大学 1987年度文系数学第2問解答・解説

問題

$n$ を自然数， $a$ を正の定数とする．このとき，

(1) 2つの曲線

C_{1} : y = \frac{x ^{2 n}}{2 a ^{\frac{n}{n + 1}}}, C_{2} : y = a^{\frac{n}{n + 1}} - \frac{x ^{2 n}}{2 a ^{\frac{n}{n + 1}}}

によって囲まれる図形 $D_{1}$ の面積を求めよ．

(2) さらに，2つの曲線

C_{3} : y = \frac{x ^{2 n}}{2 ( a + 1 ) ^{\frac{n}{n + 1}}}, C_{4} : y = (a + 1)^{\frac{n}{n + 1}} - \frac{x ^{2 n}}{2 ( a + 1 ) ^{\frac{n}{n + 1}}}

によって囲まれる図形を $D_{2}$ とする． $D_{1}$ の外部と $D_{2}$ の内部との共通部分の面積を求めよ．

出典：九州大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

$A = a^{n / (n + 1)}$ とおいて、まず2曲線の上下関係と交点を明確にする。交点の $x$ 座標は $\pm a^{1/ (n + 1)}$ であり、上下の差は $A - x^{2 n} / A$ なので偶関数として積分できる。第2問では、 $a + 1$ に置き換えた図形が横にも縦にも広がることを確認し、求める部分が $D_{2}$ から $D_{1}$ を除いた面積であると判断する。相似的な拡大率から面積が $a$ に比例することを見る別解も自然である。

解答

(1)

$A = a^{\frac{n}{n + 1}}$ とおく。すると2曲線は $C_{1} : y = \frac{x ^{2 n}}{2 A}, C_{2} : y = A - \frac{x ^{2 n}}{2 A}$ である。交点では $\frac{x ^{2 n}}{2 A} = A - \frac{x ^{2 n}}{2 A}$ だから $x^{2 n} = A^{2} = a^{\frac{2 n}{n + 1}}$ である。よって $∣ x ∣ = a^{\frac{1}{n + 1}}$ となる。

区間 $∣ x ∣ < a^{1/ (n + 1)}$ では $C_{2}$ が上側、 $C_{1}$ が下側である。したがって $D_{1}$ の面積を $S_{1}$ とすると $S_{1} = \int_{- a^{1/ (n + 1)}}^{a^{1/ (n + 1)}} (A - \frac{x ^{2 n}}{A}) d x$ である。被積分関数は偶関数なので $S_{1} = 2 \int_{0}^{a^{1/ (n + 1)}} (A - \frac{x ^{2 n}}{A}) d x$ となる。ここで $L = a^{1/ (n + 1)}$ とおくと、 $A L = a$ 、 $L^{2 n + 1} / A = a$ であるから

S_{1} = 2 (A L - \frac{L ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 ) A}) = 2 (a - \frac{a}{2 n + 1})

である。よって $S_{1} = \frac{4 na}{2 n + 1}$ である。

(2)

$D_{2}$ は $(1)$ の $a$ を $a + 1$ に置き換えた図形である。したがってその面積を $S_{2}$ とすると $S_{2} = \frac{4 n ( a + 1 )}{2 n + 1}$ である。

また $a + 1 > a$ であるから

(a + 1)^{\frac{1}{n + 1}} > a^{\frac{1}{n + 1}}, (a + 1)^{\frac{n}{n + 1}} > a^{\frac{n}{n + 1}}

である。さらに、同じ $x$ に対して下側の曲線 $x^{2 n} / (2 A)$ は $A$ が大きいほど低くなり、上側の曲線 $A - x^{2 n} / (2 A)$ は $A$ が大きいほど高くなる。したがって $D_{1} \subset D_{2}$ である。

よって、 $D_{1}$ の外部と $D_{2}$ の内部との共通部分は、 $D_{2}$ から $D_{1}$ を除いた部分であり、その面積は $S_{2} - S_{1} = \frac{4 n ( a + 1 )}{2 n + 1} - \frac{4 na}{2 n + 1} = \frac{4 n}{2 n + 1}$ である。

別解。 $a = 1$ のときの図形を基準にすると、一般の $a$ では横方向に $a^{1/ (n + 1)}$ 倍、縦方向に $a^{n / (n + 1)}$ 倍される。したがって面積は $a^{\frac{1}{n + 1}} a^{\frac{n}{n + 1}} = a$ 倍になる。 $a = 1$ の面積は $2 \int_{0}^{1} (1 - x^{2 n}) d x = \frac{4 n}{2 n + 1}$ であるから、 $D_{1}$ の面積は $4 na / (2 n + 1)$ と分かる。同様に $D_{2}$ は $a + 1$ 倍なので、差は $4 n / (2 n + 1)$ である。

九州大学 1987年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1987年度
文系数学第2問