九州大学 1987年度文系数学第5問解答・解説

問題

$k$ を自然数とするとき，次の問に答えよ．

(1) $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1}^{k} = a_{n}$ $(n ≧ 1)$ を満たす実数の数列 ${a_{n}}$ について， $a_{n} > 0$ $(n ≧ 1)$ を示し，第 $n$ 項 $a_{n}$ を求めよ．

(2) 上の数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの積 $b_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots\dots \cdot a_{n}$ $(n ≧ 1)$ を求めよ．

(3) $c_{1} = 3$ ， $c_{n + 1}^{k} = 2 c_{n}$ $(n ≧ 1)$ を満たす実数の数列 ${c_{n}}$ について，第 $n$ 項 $c_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系第5問

方針

実数列がすべての自然数 $n$ で定義されることから、各項が正であることを先に確認する。正であると分かれば、 $a_{n + 1} = a_{n}^{1/ k}$ と見て指数の形で一般項を出せる。積 $b_{n}$ は指数部分の等比和に帰着する。 $c_{n}$ については $c_{n} > 0$ を確認したうえで $d_{n} = lo g_{2} c_{n}$ とおき、一次の漸化式を解く。 $k = 1$ だけは分母 $k - 1$ が使えないので必ず別に扱う。

解答

(1)

まず $a_{n} > 0$ を示す。 $a_{1} = 2 > 0$ である。 $k$ が奇数のとき、 $a_{n + 1}^{k} = a_{n} > 0$ から $a_{n + 1} > 0$ である。 $k$ が偶数のとき、もしある $a_{n + 1} < 0$ が起これば、次の式 $a_{n + 2}^{k} = a_{n + 1}$ は左辺が $≧ 0$ なのに右辺が負となり、実数では成り立たない。したがって無限に続く実数列では負の項は出ない。また $a_{n + 1} = 0$ なら $a_{n} = 0$ となるので、 $a_{1} = 2$ に反する。よって $a_{n} > 0 (n ≧ 1)$ である。

したがって $a_{n + 1} = a_{n}^{\frac{1}{k}}$ と書ける。 $k = 1$ のときは $a_{n + 1} = a_{n}$ だから $a_{n} = 2$ である。 $k \neq = 1$ のとき、 $a_{n} = 2^{r_{n}}$ とおくと $r_{1} = 1, r_{n + 1} = \frac{r _{n}}{k}$ である。よって $r_{n} = \frac{1}{k ^{n - 1}}$ となり、 $a_{n} = 2^{\frac{1}{k ^{n - 1}}}$ である。

(2)

$k = 1$ のときは $a_{n} = 2$ であるから $b_{n} = 2^{n}$ である。 $k \neq = 1$ のとき、 $(1)$ より $b_{n} = 2^{1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k ^{2}} + \dots + \frac{1}{k ^{n - 1}}}$ である。指数部分は等比数列の和なので

1 + \frac{1}{k} + \frac{1}{k ^{2}} + \dots + \frac{1}{k ^{n - 1}} = \frac{1 - ( \frac{1}{k} ) ^{n}}{1 - \frac{1}{k}} = \frac{k ( 1 - k ^{- n} )}{k - 1}

である。したがって $b_{n} = 2^{\frac{k ( 1 - k ^{- n} )}{k - 1}}$ である。

(3)

$c_{1} = 3 > 0$ であり、 $(1)$ と同じ理由で $c_{n} > 0 (n ≧ 1)$ である。そこで $d_{n} = lo g_{2} c_{n}$ とおく。 $c_{n + 1}^{k} = 2 c_{n}$ の両辺の2を底とする対数をとると $k d_{n + 1} = 1 + d_{n}$ すなわち $d_{n + 1} = \frac{d _{n} + 1}{k}$ である。 $k = 1$ のときは $c_{n + 1} = 2 c_{n}$ だから $c_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ である。 $k \neq = 1$ のとき、定数 $L$ が $L = (L + 1) / k$ を満たすように選ぶと $L = \frac{1}{k - 1}$ である。よって $d_{n + 1} - L = \frac{1}{k} (d_{n} - L)$ となる。 $d_{1} = lo g_{2} 3$ だから

d_{n} = L + \frac{d _{1} - L}{k ^{n - 1}} = \frac{1}{k - 1} + (lo g_{2} 3 - \frac{1}{k - 1}) \frac{1}{k ^{n - 1}}

である。したがって

c_{n} = 2^{\frac{1}{k - 1} + (l o g_{2} 3 - \frac{1}{k - 1}) \frac{1}{k ^{n - 1}}}

である。

九州大学 1987年度文系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1987年度
文系数学第5問