問題
曲線の接線が点を通るとする．このとき，ととで囲まれる図形の面積を求めよ．
出典：九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
接線の接点を とおき、微分係数から接線の方程式を作る。点 を通る条件で を決めると接線は1本に定まる。面積では、接点で重なっている交点ともう一つの交点を因数分解で見つけ、区間内で直線が曲線の上側にあることを確認してから積分する。別解として、傾き の直線から接する条件を重解として扱う方法も自然である。
解答
(1)
接点を とおく。曲線 の導関数は であるから、接点 における接線は すなわち である。この直線が点 を通るので となる。よって である。したがって接線は である。
次に交点を求める。曲線と直線の交点では であるから である。左辺は と因数分解できるので、交点の 座標は である。 は接点なので重なっている。
区間 では、例えば で直線の値は2、曲線の値は0であるから、直線が上側、曲線が下側である。したがって求める面積は である。これを計算すると となる。上端では であり、下端では である。よって面積は である。
別解。点 を通る直線を とおく。この直線が に接するためには、方程式 が重解をもつ必要がある。接点の 座標を とすると である。後式から であり、前式に代入して を得る。したがって となり、以後は上と同じく と の間を積分すればよい。