九州大学 1987年度文系数学第3問解答・解説

問題

行列 $(a b b a)$ によって定義される1次変換を $f$ とする．一般に，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ に対して，点列 $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ を $P_{n} = f (P_{n - 1})$ $(n ≧ 1)$ によって定義する．このとき，次の問に答えよ．

(1) $P_{0}$ が $(1, 1)$ と $(1, - 1)$ の2つの場合について， $x_{n}$ と $y_{n}$ を， $a$ ， $b$ を用いて表せ．

(2) $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ のとき， $x_{n}$ と $y_{n}$ を， $a$ ， $b$ を用いて表せ．

出典：九州大学 1987年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$x_{n} + y_{n}$ と $x_{n} - y_{n}$ を作ると、1回の変換でそれぞれ $a + b$ 倍、 $a - b$ 倍される。この2つの量を先に求め、最後に $x_{n}$ と $y_{n}$ を和と差から戻す。 $(1)$ の2つの初期点は、和だけが残る場合と差だけが残る場合として扱えるので、 $(2)$ の一般式の準備にもなる。

解答

(1)

変換の定義から $x_{n + 1} = a x_{n} + b y_{n}, y_{n + 1} = b x_{n} + a y_{n}$ である。まず $P_{0} = (1, 1)$ の場合を考える。このとき $x_{0} = y_{0} = 1$ であり、もし $x_{n} = y_{n}$ なら $x_{n + 1} = y_{n + 1} = (a + b) x_{n}$ となる。したがって $x_{n} = (a + b)^{n}, y_{n} = (a + b)^{n}$ である。

次に $P_{0} = (1, - 1)$ の場合を考える。このとき $y_{0} = - x_{0}$ であり、もし $y_{n} = - x_{n}$ なら $x_{n + 1} = (a - b) x_{n}, y_{n + 1} = - (a - b) x_{n}$ となる。したがって $x_{n} = (a - b)^{n}, y_{n} = - (a - b)^{n}$ である。

(2)

一般の初期点 $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ について $s_{n} = x_{n} + y_{n}, d_{n} = x_{n} - y_{n}$ とおく。すると $s_{n + 1} = x_{n + 1} + y_{n + 1} = (a + b) (x_{n} + y_{n}) = (a + b) s_{n}$ であり、また $d_{n + 1} = x_{n + 1} - y_{n + 1} = (a - b) (x_{n} - y_{n}) = (a - b) d_{n}$ である。したがって $s_{n} = (a + b)^{n} (x_{0} + y_{0}), d_{n} = (a - b)^{n} (x_{0} - y_{0})$ となる。

最後に $x_{n} = \frac{s _{n} + d _{n}}{2}, y_{n} = \frac{s _{n} - d _{n}}{2}$ を用いれば $x_{n} = \frac{( x _{0} + y _{0} ) ( a + b ) ^{n} + ( x _{0} - y _{0} ) ( a - b ) ^{n}}{2}$ であり、 $y_{n} = \frac{( x _{0} + y _{0} ) ( a + b ) ^{n} - ( x _{0} - y _{0} ) ( a - b ) ^{n}}{2}$ である。

別解。 $(1)$ の2つの初期点は、変換によって向きが変わらず長さの倍率だけが変わる特別な方向である。一般の点は $(x_{0}, y_{0}) = \frac{x _{0} + y _{0}}{2} (1, 1) + \frac{x _{0} - y _{0}}{2} (1, - 1)$ と分けられるので、 $(1)$ の結果をそれぞれに掛け合わせても同じ公式を得る。

九州大学 1987年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1987年度
文系数学第3問