九州大学 1985年度
理系数学 第6問

解答

{(1) $X=\tan t$ と置く。$-\pi /2<t<\pi /2$ であるから、$X$ はすべての実数を1回ずつ動く。また $\tan 2t=\frac{2X}{1-X^2},\tan 3t=\frac{3X-X^3}{1-3X^2}$ である。したがって $X\ne 0$ では

右辺は $X^2$ だけで決まるので、グラフは $y$ 軸対称である。 $t=0$ では問題の指定により極限値を取る。上の式で $X\to 0$ とすれば $Y\to \frac{3}{2}$ であるから、点 $(0,3/2)$ を通る。

次に特徴を調べる。分母が0になるのは $1-3X^2=0$ すなわち $X=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ である。ここでは分子が0でないので、縦の漸近線である。

また $X=\pm 1$ では $\tan 2t$ が定義されないため、元の点は存在しない。ただし有理式の極限は $Y=0$ であるから、$(1,0)$、$(-1,0)$ は穴として描く。零点は分子より $X=\pm \sqrt{3}$ である。以上を用いて、$y$ 軸対称、漸近線 $X=\pm 1/\sqrt{3}$、穴 $(\pm 1,0)$、零点 $(\pm \sqrt{3},0)$、切片 $(0,3/2)$ を持つグラフを描けばよい。

(2)

$z={\tan }^{2}x$ と置く。$-\pi /2<x<\pi /2$ では $z\geqq 0$ であり、$z=0$ は $x=0$ だけに対応し、$z>0$ は $x$ と $-x$ の2個に対応する。

(1)

より $F(z)=\frac{(3-z)(1-z)}{2(1-3z)}$ と置けば、方程式は $a=F(z)$ である。ただし $z\ne \frac{1}{3},z\ne 1$ に注意する。前者は分母が0になる点、後者は $\tan 2x$ が定義されない点である。

増減を調べる。計算すると $F^{\prime }(z)=-\frac{(z+1)(3z-5)}{2(3z-1{)}^2}$ である。したがって $z\geqq 0$ では、$0\leqq z<5/3$ で増加し、$z>5/3$ で減少する。ただし $z=1/3$、$z=1$ で区間を分ける必要がある。

各区間の値を整理する。 $F(0)=\frac{3}{2}$ であり、$z\to 1/3-0$ で $F(z)\to +\infty$ である。よって $0\leqq z<\frac{1}{3}$ での値域は $\left[\frac{3}{2},\infty \right)$ である。

次に $\frac{1}{3}<z<1$ では、$z\to 1/3+0$ で $F(z)\to -\infty$、$z\to 1-0$ で $F(z)\to 0$ である。ただし $z=1$ は含まないので、値域は $(-\infty ,0)$ である。

さらに $z>1$ を考える。$z\to 1+0$ で $F(z)\to 0$、$z=5/3$ で最大となり、$F\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{1}{9}$ である。また $z=3$ で $F(z)=0$、$z\to \infty$ で $F(z)\to -\infty$ である。したがってこの区間からは、$0<a<1/9$ で2個の $z$、$a=1/9$ で1個の $z$、$a=0$ で1個の $z$、$a<0$ で1個の $z$ が得られる。

これらを $x$ の個数に直す。$z=0$ は $x=0$ の1個、$z>0$ は2個の $x$ を与える。

以上より、求める個数は

である。}