九州大学 1985年度理系数学第5問解答・解説

問題

$A$ ， $B$ 2つのつぼがある． $A$ には白球 $a$ 個，赤球 $b$ 個が， $B$ には白球 $b$ 個，赤球 $a$ 個が入っている $(a > 0, b > 0)$ ．まず， $A$ より，無作為に球を取り出す．取り出した後，ただちにもとに戻す．白球が取り出されたときは，次に $A$ より球を取り出し，赤球が取り出されたときは，次に $B$ より球を取り出すとする．以下このようにして，球を取り出して戻すことを続けたとき， $n$ 回目に取り出した球が白球である確率を $p_{n}$ ，赤球である確率を $q_{n}$ で表す．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．

(1) $(p_{n + 1} q_{n + 1}) = (α γ β δ) (p_{n} q_{n})$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ とするとき，行列 $A = (α γ β δ)$ を求めよ．

(2) $p_{n}$ を求め，かつ $n \to \infty lim p_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

直前に白球が出たら次はつぼ $A$ 、赤球が出たら次はつぼ $B$ から取り出すので、 $(p_{n}, q_{n})$ の漸化式を条件付き確率で立てる。行列は各つぼで白・赤が出る確率をそのまま並べればよい。(2)では $p_{n} + q_{n} = 1$ が常に成り立つことと、差 $p_{n} - q_{n}$ が一定比で変化することを使う。和と差から $p_{n}$ を復元し、 $∣ (a - b) / (a + b) ∣ < 1$ により極限を求める。

解答

(1)

$n$ 回目に白球が出たとき、 $n + 1$ 回目はつぼ $A$ から取り出す。つぼ $A$ で白球が出る確率は $a / (a + b)$ 、赤球が出る確率は $b / (a + b)$ である。

また、 $n$ 回目に赤球が出たとき、 $n + 1$ 回目はつぼ $B$ から取り出す。つぼ $B$ で白球が出る確率は $b / (a + b)$ 、赤球が出る確率は $a / (a + b)$ である。

したがって $p_{n + 1} = \frac{a}{a + b} p_{n} + \frac{b}{a + b} q_{n}$ および $q_{n + 1} = \frac{b}{a + b} p_{n} + \frac{a}{a + b} q_{n}$ である。よって

A = \frac{1}{a + b} (a b b a)

である。

(2)

最初はつぼ $A$ から取り出すので $p_{1} = \frac{a}{a + b}, q_{1} = \frac{b}{a + b}$ である。また常に $p_{n} + q_{n} = 1$ である。

次に差を取ると、(1)の漸化式より

p_{n + 1} - q_{n + 1} = (\frac{a}{a + b} - \frac{b}{a + b}) p_{n} + (\frac{b}{a + b} - \frac{a}{a + b}) q_{n} = \frac{a - b}{a + b} (p_{n} - q_{n}) .

さらに $p_{1} - q_{1} = \frac{a - b}{a + b}$ であるから、 $p_{n} - q_{n} = (\frac{a - b}{a + b})^{n}$ である。

和と差を用いて $2 p_{n} = (p_{n} + q_{n}) + (p_{n} - q_{n})$ だから、

p_{n} = \frac{1}{2} {1 + (\frac{a - b}{a + b})^{n}}

である。

ここで $a > 0, b > 0$ より $\frac{a - b}{a + b} < 1$ である。したがって $lim_{n \to \infty} (\frac{a - b}{a + b})^{n} = 0$ となり、 $lim_{n \to \infty} p_{n} = \frac{1}{2}$ である。

九州大学 1985年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1985年度
理系数学第5問