九州大学 1985年度理系数学第1問解答・解説

問題

図のような立体 $A B C D E F$ がある．面 $A B E D$ ，面 $B C F E$ ，面 $C A D F$ は辺の長さが $a$ の正方形であるとする．対角線 $A E$ ， $B F$ 上にそれぞれ点 $M$ ， $N$ をとったとき，線分 $M N$ と辺 $A B$ とは垂直で， $M N = \frac{a}{3}$ であった．そのとき， $M$ ， $N$ は $A E$ ， $B F$ をそれぞれどのような比に分かつか．
% 図は省略

出典：九州大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

3つの側面が正方形である立体を、正三角形 $A B C$ を高さ方向に平行移動した三角柱として座標化する。 $M$ を $A E$ 上、 $N$ を $B F$ 上の比を表す文字 $λ, μ$ で置く。 $M N ⊥ A B$ は $x$ 成分の差が0であること、 $M N = a / 3$ は長さの2乗で表す。2条件を連立し、得られた2つの解がどちらも線分上の点を与えることを確認して比に直す。

解答

正三角形 $A B C$ を底面に持つ三角柱として座標を置く。すなわち

A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), C = (\frac{a}{2}, \frac{3 a}{2}, 0)

とし、正方形のもう一方の方向を $z$ 軸方向に取る。このとき

D = (0, 0, a), E = (a, 0, a), F = (\frac{a}{2}, \frac{3 a}{2}, a)

である。

点 $M$ が $A E$ 上にあるので $M = A + λ (E - A) = (λa, 0, λa) (0 ≦ λ ≦ 1)$ と置く。また、点 $N$ が $B F$ 上にあるので

N = B + μ (F - B) = (a - \frac{μ a}{2}, \frac{3 μ a}{2}, μ a) (0 ≦ μ ≦ 1)

と置く。

辺 $A B$ は $x$ 軸方向である。したがって $M N ⊥ A B$ であるためには、 $M N$ の $x$ 成分が0であればよい。よって $a - \frac{μ a}{2} - λa = 0$ であり、 $λ = 1 - \frac{μ}{2}$ を得る。

次に長さの条件を使う。上の関係を用いると、 $M N$ の成分は

M N = (0, \frac{3 μ a}{2}, μ a - λa) = (0, \frac{3 μ a}{2}, \frac{3 μ a}{2} - a)

である。したがって

M N^{2} = (\frac{3 μ a}{2})^{2} + (\frac{3 μ a}{2} - a)^{2} = a^{2} {\frac{3 μ ^{2}}{4} + (\frac{3 μ}{2} - 1)^{2}} = a^{2} (3 μ^{2} - 3 μ + 1) .

条件 $M N = a / 3$ より $3 μ^{2} - 3 μ + 1 = \frac{1}{3}$ である。よって $9 μ^{2} - 9 μ + 2 = 0$ となり、 $(3 μ - 1) (3 μ - 2) = 0$ から $μ = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}$ である。 $μ = \frac{1}{3}$ のとき $λ = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ であるから、 $A M : M E = 5 : 1, B N : N F = 1 : 2$ である。 $μ = \frac{2}{3}$ のとき $λ = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ であるから、 $A M : M E = 2 : 1, B N : N F = 2 : 1$ である。

したがって求める分け方は $A M : M E = 5 : 1, B N : N F = 1 : 2$ または $A M : M E = 2 : 1, B N : N F = 2 : 1$ である。

九州大学 1985年度理系数学 第1問

問題

方針

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理系数学第1問