九州大学 1985年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面における2つの曲線 $y = \frac{( lo g x ) ^{2}}{x}$ ， $y = \frac{lo g x}{x}$ について，次の(1)，(2)に答えよ．

(1) 上の2つの曲線の $\frac{1}{e} ≦ x ≦ e$ での概形をかき，この2つの曲線が囲む部分を斜線で示せ．

(2) (1)の斜線部分を $x$ 軸のまわりに1回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

出典：九州大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

$u = lo g x$ と置くと、区間 $1/ e ≦ x ≦ e$ は $- 1 ≦ u ≦ 1$ になり、2曲線は $u^{2} e^{- u /2}$ と $u e^{- u /2}$ になる。交点は $u = 0, 1$ で、囲まれる部分は $0 < u < 1$ にある。回転体の体積では $d x = e^{u} d u$ となり、半径の2乗に含まれる $e^{- u}$ と打ち消し合うため、積分は $u^{2} - u^{4}$ の簡単な形に落ちる。

解答

(1)

$u = lo g x$ と置く。 $1/ e ≦ x ≦ e$ は $- 1 ≦ u ≦ 1$ に対応する。また $x = e^{u}$ であるから、2つの曲線は $y = u^{2} e^{- u /2}, y = u e^{- u /2}$ となる。交点は $u^{2} e^{- u /2} = u e^{- u /2}$ より $u^{2} = u$ である。したがって $u = 0, 1$ であり、元の $x$ では $x = 1, e$ である。 $- 1 < u < 0$ では $u^{2} > 0$ 、 $u < 0$ なので2曲線は上下に離れるが、この区間だけでは2曲線が閉じた部分を作らない。 $0 < u < 1$ では $u > u^{2}$ であるから、上側は $y = u e^{- u /2}$ 、下側は $y = u^{2} e^{- u /2}$ である。したがって、概形では $x = 1$ と $x = e$ の間で2曲線に囲まれる部分を斜線で示す。

(2)

この斜線部分を $x$ 軸のまわりに回転する。上側の半径は $u e^{- u /2}$ 、下側の半径は $u^{2} e^{- u /2}$ である。また $d x = e^{u} d u$ であるから、体積 $V$ は

V = π \int_{1}^{e} {(\frac{lo g x}{x})^{2} - (\frac{( lo g x ) ^{2}}{x})^{2}} d x = π \int_{0}^{1} {u^{2} e^{- u} - u^{4} e^{- u}} e^{u} d u = π \int_{0}^{1} (u^{2} - u^{4}) d u .

よって

V = π [\frac{u ^{3}}{3} - \frac{u ^{5}}{5}]_{0}^{1} = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2 π}{15} .

九州大学 1985年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1985年度
理系数学第2問