問題
次の(1)，(2)に答えよ．
(1) 半径1の円の周上に相異なる2定点，がある．その円周上に動点をとり，，を，によって定める．動点が円周上を動くとき，座標平面上の点の表す図形をかけ．また，が最大となるのはがどの位置にあるときかを述べよ．
(2) 円の周上に相異なる個の点がある．そのうちの任意にとった点をとし，そこから時計の針の回る方向に順次とする．そのとき，が最大となるのはがどのように配列されているときかを示し，証明せよ．
方針
(1)では固定弦 が中心で張る小さい方の角を とし、、 を 、 に変換する。円周角の関係により、 は または となるので、余弦定理から2つのだ円の一部が得られる。 の最大は長い方の軸で決まる。(2)では隣り合う点の中心角を とし、周長を と表す。2つの角を平均化すると和が増えることを用いて、全て等しいときが最大と示す。
解答
(1)
弦 が中心 で張る小さい方の角を とする。ただし である。弦の長さは である。 と置くと、問題の座標は である。したがって である。実際の距離なので も必要である。
点 が弦 の小さい弧上にない側にあるとき、円周角の定理より である。余弦定理から である。ここに 、 を代入すると
である。整理して を得る。
一方、点 が反対側の弧上にあるとき、 である。このとき余弦定理の の部分の符号が変わるため、 を得る。
したがって、点 の表す図形は および で表される2つのだ円のうち、条件 を満たす部分である。図では 軸の正方向側にある2つのだ円弧として描く。 が最大となるのは、 軸方向の長さが大きい方のだ円で、かつ の点である。上の2式のうち の方が 軸方向に長い。 とすると
であるから、 となる。このとき なので、 は の垂直二等分線上、すなわち大きい弧の中点にある。
(2)
円の半径を とする。隣り合う点 が中心で張る角を とする。ただし と見る。このとき であり、弦の長さは である。したがって周長は である。
2つの正の角 を、和を保ったまま平均 に置き換えることを考える。このとき
であり、右辺は平均後の に等しい。等号は のときに限る。
したがって、2つの中心角が等しくないなら、それらを平均化することで周長を大きくできる。周長が最大であるためには、すべての中心角が等しくなければならない。よって であり、点 は円周上に等間隔に並ぶ。すなわち、正 角形の頂点として配列されているときに最大となる。