九州大学 1985年度理系数学第4問解答・解説

問題

行列 $(a c b d)$ によって定義される1次変換を $f$ とする．ある点 $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ をとり， $P_{n + 1} = f (P_{n})$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ によって順次 ${P_{n}}$ を定義する．そのとき，点列 ${P_{n}}$ はある直線 $m$ 上に $P_{0}$ より順次一定間隔 $l$ $(> 0)$ で並んだという．次の(1)，(2)に答えよ．ただし， $α$ は直線 $m$ と $x$ 軸の正の方向とのなす角とする．

(1) $(a c b d)$ を $x_{0}$ ， $y_{0}$ ， $l$ および $α$ を用いて表せ．

(2) $P_{0}$ 以外の点 $Q_{0} = (u_{0}, v_{0})$ に対して， $Q_{n + 1} = f (Q_{n})$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ によって定義される点列 ${Q_{n}}$ はどのように並んでいるか．

出典：九州大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$P_{n} = P_{0} + n l e$ から $A e = e$ 、 $A P_{0} = P_{0} + l e$ を得て行列を決め、任意の $Q_{0}$ を $P_{0}, e$ で分解する。

解答

{(1)直線 $m$ の方向ベクトルを $e = (cos α, sin α)$ と置く。条件より、点列 $P_{n}$ は $P_{n} = P_{0} + n l e$ と表せる。したがって、行列を $A$ と書くと $A e = e, A P_{0} = P_{0} + l e$ を満たす。

ここで $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ とする。もし $P_{0}$ と $e$ が平行なら、 $P_{0}$ は直線 $m$ と原点を結ぶ方向にあり、1次変換で $P_{0}$ が同じ直線上を等間隔に進むためには $e$ 方向の伸びが必要になる。しかし $A e = e$ と両立すると $l = 0$ になってしまう。条件では $l > 0$ なので、 $P_{0}$ と $e$ は平行でない。よって $Δ = x_{0} sin α - y_{0} cos α$ は0でない。

行列

A = (a c b d)

について、 $A e = e$ から

{a cos α + b sin α = cos α, c cos α + d sin α = sin α

を得る。また $A P_{0} = P_{0} + l e$ から

{a x_{0} + b y_{0} = x_{0} + l cos α, c x_{0} + d y_{0} = y_{0} + l sin α

を得る。これらを解くと

A = 1 + \frac{l sin α cos α}{Δ} \frac{l sin ^{2} α}{Δ} - \frac{l cos ^{2} α}{Δ} 1 - \frac{l sin α cos α}{Δ}

である。

実際、第1列と第2列を用いて計算すれば $A e = e$ となり、さらに $A P_{0} = P_{0} + l e$ となることが確認できる。

(2)

任意の点 $Q_{0} = (u_{0}, v_{0})$ を、 $P_{0}$ と $e$ を用いて $Q_{0} = λ P_{0} + μ e$ と表す。 $P_{0}, e$ は平行でないので、この表し方は一意である。両辺の $x, y$ 成分から、特に $λ = \frac{u _{0} sin α - v _{0} cos α}{Δ}$ である。 $A e = e$ 、 $A P_{0} = P_{0} + l e$ を使うと

Q_{1} = A Q_{0} = λ A P_{0} + μ A e = λ (P_{0} + l e) + μ e = λ P_{0} + (μ + λ l) e .

同じ計算を繰り返すと $Q_{n} = λ P_{0} + (μ + nλ l) e$ である。

したがって、 $λ \neq = 0$ のとき、点列 $Q_{n}$ は直線 $m$ に平行な直線上に、一定間隔 $∣ λ ∣ l$ で並ぶ。進む向きは、 $λ > 0$ なら $m$ と同じ向き、 $λ < 0$ なら反対向きである。 $λ = 0$ のときは $Q_{n} = μ e$ で全て同じ点になる。すなわち、 $Q_{0}$ が原点を通り $m$ に平行な直線上にある場合、点列 $Q_{n}$ は動かない。

以上より、

λ = \frac{u _{0} sin α - v _{0} cos α}{x _{0} sin α - y _{0} cos α}

とすると、 $λ \neq = 0$ では $Q_{n}$ は $m$ に平行な直線上に間隔 $∣ λ ∣ l$ で並び、 $λ = 0$ では一点にとどまる。}

九州大学 1985年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(2)

九州大学 1985年度
理系数学第4問