京都大学 2024年度理系数学第6問解答・解説

問題

自然数 $k$ に対して， $a_{k} = 2^{k}$ とする． $n$ を自然数とし， $a_{k}$ の整数部分が $n$ 桁であるような $k$ の個数を $N_{n}$ とする．また， $a_{k}$ の整数部分が $n$ 桁であり，その最高位の数字が1であるような $k$ の個数を $L_{n}$ とする．次を求めよ．

n \to \infty lim \frac{L _{n}}{N _{n}}

ただし，例えば実数 $2345.678$ の整数部分2345は4桁で，最高位の数字は2である．

出典：京都大学 2024年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

整数部分が $n$ 桁である条件は $1 0^{n - 1} ≦ 2^{k} < 1 0^{n}$ である。 $c = lo g_{2} 10$ とおくと，これは $(n - 1) c ≦ k < n c$ ，すなわち $k$ が長さ $(2 n - 1) c^{2}$ の区間に入る条件になる。最高位が1である条件は $1 0^{n - 1} ≦ 2^{k} < 2 \cdot 1 0^{n - 1}$ で，同様に長さ $2 (n - 1) c + 1$ の区間になる。区間に含まれる整数の個数は区間長との差が高々一定なので，個数比の極限は区間長の比の極限に等しい。

解答

$c = lo g_{2} 10$ とおく。 $a_{k} = 2^{k}$ の整数部分が $n$ 桁であるための条件は $1 0^{n - 1} ≦ 2^{k} < 1 0^{n}$ である。底2の対数をとると $(n - 1) c ≦ k < n c$ であり，さらに平方して $(n - 1)^{2} c^{2} ≦ k < n^{2} c^{2}$ となる。したがって $N_{n}$ は，この半開区間に含まれる自然数 $k$ の個数である。この区間の長さは $n^{2} c^{2} - (n - 1)^{2} c^{2} = (2 n - 1) c^{2}$ である。

次に，整数部分が $n$ 桁で最高位の数字が1である条件を考える。これは $1 0^{n - 1} ≦ 2^{k} < 2 \cdot 1 0^{n - 1}$ である。底2の対数をとると $(n - 1) c ≦ k < 1 + (n - 1) c$ であり，平方して $(n - 1)^{2} c^{2} ≦ k < {1 + (n - 1) c}^{2}$ となる。したがって $L_{n}$ は，この半開区間に含まれる自然数 $k$ の個数である。この区間の長さは ${1 + (n - 1) c}^{2} - (n - 1)^{2} c^{2} = 2 (n - 1) c + 1$ である。

ここで，任意の区間について，その中に含まれる整数の個数と区間の長さとの差は高々一定である。したがって， $n \to \infty$ で区間長が無限大になる本問では，個数の比の極限は区間長の比の極限と一致する。よって

n \to \infty lim \frac{L _{n}}{N _{n}} = n \to \infty lim \frac{2 ( n - 1 ) c + 1}{( 2 n - 1 ) c ^{2}} = \frac{1}{c}

である。 $c = lo g_{2} 10$ なので $\frac{1}{c} = lo g_{10} 2$ である。したがって $n \to \infty lim \frac{L _{n}}{N _{n}} = lo g_{10} 2$ である。

京都大学 2024年度理系数学 第6問

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理系数学第6問