問題
を満たす複素数と，を満たす複素数に対して，とする．このような複素数が複素数平面において動く領域を図示し，その面積を求めよ．
出典：京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
は原点中心半径1以下の円板を動き，は原点中心半径の円周を動く。したがっては中心に，半径1以下のベクトルと半径のベクトルを足したものになる。和の原点からの距離は，三角形の辺の長さの条件から以上以下のすべての値をとれる。よって中心，内半径，外半径の円環である。
解答
条件を変形する。なので は原点中心，半径1以下の円板を動く。また より であり，は原点中心，半径の円周を動く。
したがって である。つまり，は，長さが1以下のベクトルと，長さがのベクトルの和である。
この和の長さをとする。三角形の辺の長さの関係より，取りうるは すなわち である。逆に，この範囲の任意のは，半径のベクトルの向きと，長さ1以下のベクトルの向きを調整することで実現できる。
よってが動く領域は，複素数平面上で中心，内半径，外半径の円環である。したがって面積は
である。