問題
個の異なる色を用意する．立方体の各面にいずれかの色を塗る．各面にどの色を塗るかは同様に確からしいとする．辺を共有するどの二つの面にも異なる色が塗られる確率をとする．次の問いに答えよ．
(1) を求めよ．
(2) を求めよ．
出典：京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1)は文系第2問と同じく，立方体の面を向かい合う3組に分け，隣接面で同色にならない条件を「3組で使う色集合が互いに交わらない」と読む。4色では色集合の大きさがまたはなので，それぞれ数える。(2)は全数え上げをせず，隣り合う面の12組のうち少なくとも1組が同色になる確率を上から評価する。各組が同色になる確率はなので，余事象の確率は高々である。
解答
(1)
立方体の向かい合う面を3組に分ける。辺を共有しないのは向かい合う2面だけなので，条件を満たすためには，各向かい合う組で使う色集合が互いに交わらないことが必要十分である。
4色の場合，3組の色集合の大きさは である。
の場合，3組に異なる3色を割り当てるので 通りである。
の場合，2色を使う組の選び方が3通り，その2色の選び方が通り，その2色を向かい合う2面に塗る順序が2通り，残り2組への色の割り当てが2通りである。よって 通りである。
したがって条件を満たす塗り方は 通りである。全体の塗り方は通りなので である。
(2)
条件を満たさない事象は，辺を共有する2面で同じ色が塗られている組が少なくとも1組あることである。立方体には辺が12本あり，それぞれが辺を共有する2面の組に対応する。
ある1組の隣り合う2面に注目すると，1つ目の面の色が何であっても，2つ目の面が同じ色になる確率は である。したがって，12組のうち少なくとも1組で同色になる確率は，高々 である。よって である。はさみうちにより である。