京都大学 2024年度
理系数学 第5問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系学部
- 分野
- 指数・対数、積分
- 解法
- 面積計算、置換、極限計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 25分
問題
aはa≧1を満たす定数とする．座標平面上で，次の4つの不等式が表す領域をDaとする．
x≧0,2ex−e−x≦y,y≦2ex+e−x,y≦a
次の問いに答えよ．
(1) Daの面積Saを求めよ．
(2) a→∞limSaを求めよ．
出典：京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
下側は2ex−e−x，上側は2ex+e−xと水平線y=aの小さい方である。a≧1なので，2ex+e−x=aとなる点をA，2ex−e−x=aとなる点をBとおくと，0≦x≦Aでは上下の指数関数の差，A≦x≦Bでは水平線y=aと下側の差を積分する。(2)では平方根の差が0に近づくことと，対数項が0に近づくことを不等式で押さえる。
解答
(1)
上側の曲線 2ex+e−x がaに等しくなる点をA，下側の曲線 2ex−e−x がaに等しくなる点をBとおく。a≧1なのでA≧0であり，2eA+e−A=a,2eB−e−B=a である。これを解くと
A=log(a+a2−1),B=log(a+a2+1)
である。
0≦x≦Aでは，水平線y=aは上側の曲線より上にあるので，領域の高さは 2ex+e−x−2ex−e−x=e−x である。A≦x≦Bでは，上側は水平線y=aになり，領域の高さは a−2ex−e−x である。したがって Sa=∫0Ae−xdx+∫AB(a−2ex−e−x)dx である。
計算すると ∫0Ae−xdx=1−e−A であり，eA=a+a2−1より e−A=a−a2−1 である。また
∫AB(a−2ex−e−x)dx=a(B−A)−[2ex+e−x]AB
である。ここで 2eA+e−A=a,2eB+e−B=a2+1 なので，∫AB(a−2ex−e−x)dx=a(B−A)−a2+1+a である。
以上を合わせると Sa=1+a2−1−a2+1+a(B−A) であり，B−A=loga+a2−1a+a2+1 だから
Sa=1+a2−1−a2+1+aloga+a2−1a+a2+1
である。
(2)
まず a2+1−a2−1=a2+1+a2−12 であるから，a2−1−a2+1→0(a→∞) である。
次に対数項を調べる。aが十分大きいとき，Ra=a+a2−1a+a2+1>1 であり，0<logRa<Ra−1 である。また
Ra−1=a+a2−1a2+1−a2−1<a1/a=a21
が成り立つ。よって 0<alogRa<a1 となり，alogRa→0 である。
したがって lima→∞Sa=1+0+0=1 である。
