問題
座標空間の4点O，A，B，Cは同一平面上にないとする．線分OAの中点をP，線分ABの中点をQとする．実数，に対して，直線OC上の点Xと，直線BC上の点Yを次のように定める．
このとき，直線QYと直線PXがねじれの位置にあるためのに関する必要十分条件を求めよ．
出典：京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
が同一平面上にないので，を座標軸のように取り，としてよい。この座標でを表す。2直線とが同一平面上にある条件は，方向ベクトルと，2直線上の点を結ぶが同一平面内にあることである。成分計算でこの条件がとなるため，ねじれの位置はその否定である。
解答
は同一平面上にないので，は空間の3つの独立な方向を与える。したがって，これらを座標軸として とおいてよい。
このとき，線分の中点と線分の中点は である。また， より であり， より である。
直線の方向ベクトルは であり，直線の方向ベクトルは である。また，2直線上の点を結ぶベクトルとして をとる。
2直線が同一平面上にあるための条件は，が同一平面内にあることである。成分で計算すると，この条件は
である。この行列式は であるから，同一平面上にある条件は である。
空間内の2直線がねじれの位置にあるとは，同一平面上にないことをいう。したがって，直線と直線がねじれの位置にあるための必要十分条件は である。