問題
複素数を係数とする2次式に対し，次の条件を考える．
（イ） はで割り切れる．
（ロ） の係数の少なくとも一方は虚数である．
この2つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす2次式をすべて求めよ．
方針
の根を重複も考えてとする。がで割り切れるためには，各根についてが再びの根であることが必要で，重根の場合も確認する。2個以下の根集合が3乗で閉じる場合を分類する。両方が固定されると根はだけで実係数になり不適。非実係数が出るのは，固定根またはへもう一方の根が写る場合と，2根が3乗で入れ替わる場合である。
解答
の根をとする。条件（イ）より，の根を代入すると でなければならない。したがって，根の集合は3乗をとる操作で閉じている。
まず重根の場合を確認する。なら，条件（イ）からが必要である。よって であり，このとき係数は実数になるので条件（ロ）に反する。したがって，条件を満たすものは異なる2根をもつ場合に限られる。
異なる2根の集合をとする。各根を3乗してもに残る。根が3乗で自分自身に戻る固定点なら， よりである。2根がともに固定点なら係数は実数となり，不適である。
次に，一方の根が固定点で，もう一方の根がその固定点へ移る場合を考える。固定点が0なら，よりとなって2根が異なることに反する。固定点が1なら，もう一方の根は1以外の3乗根であり， である。したがって を得る。固定点がなら，もう一方の根は以外のの3乗根であり， である。したがって を得る。
最後に，2根が3乗で入れ替わる場合を考える。，とすると， である。ならとなり異なる2根ではないので，である。よって である。8乗根のうち，3乗で入れ替わる組は
である。このうちからはができ，係数が実数なので条件（ロ）に反する。残りの2組から を得る。
以上の候補はいずれも，根を3乗すると同じ2根の集合に入るため条件（イ）を満たし，かつ係数の少なくとも一方が虚数である。したがって求める2次式は
である。