京都大学 2016年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の6個の点 $(0, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(1, 0)$ ， $(1, 1)$ ， $(2, 0)$ ， $(2, 1)$ が図のように長さ1の線分で結ばれている．動点Xは，これらの点の上を次の規則に従って1秒ごとに移動する．

規則：動点Xは，そのときに位置する点から出る長さ1の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．

例えば，Xが $(2, 0)$ にいるときは， $(1, 0)$ ， $(2, 1)$ のいずれかに $\frac{1}{2}$ の確率で移動する．またXが $(1, 1)$ にいるときは， $(0, 1)$ ， $(1, 0)$ ， $(2, 1)$ のいずれかに $\frac{1}{3}$ の確率で移動する．
時刻0で動点Xが $O = (0, 0)$ から出発するとき， $n$ 秒後にXの $x$ 座標が0である確率を求めよ．ただし $n$ は0以上の整数とする．% 図は省略

出典：京都大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

上下の違いではなく $x$ 座標だけを状態として， $u_{n}, v_{n}, w_{n}$ をそれぞれ $x = 0, 1, 2$ にいる確率とする。各列の点は上下どちらでも次に移る $x$ 座標の確率が同じなので，3状態にまとめられる。遷移式を立てた後，差 $u_{n} - w_{n}$ は比 $1/2$ の等比数列になり，中央列の確率 $v_{n}$ は $v_{n + 1} = 1/2 - v_{n} /6$ を満たす。 $v_{n}$ を解き， $u_{n} = (1 - v_{n} + u_{n} - w_{n}) /2$ で求める。

解答

時刻 $n$ に，動点Xの $x$ 座標が $0, 1, 2$ である確率をそれぞれ $u_{n}, v_{n}, w_{n}$ とする。求める確率は $u_{n}$ である。初期条件は $u_{0} = 1, v_{0} = 0, w_{0} = 0$ である。

各列の点について，次にどの $x$ 座標へ移るかをまとめる。 $x = 0$ の列からは，確率 $1/2$ で $x = 0$ に残り，確率 $1/2$ で $x = 1$ へ移る。 $x = 1$ の列からは，確率 $1/3$ ずつで $x = 0, 1, 2$ へ移る。 $x = 2$ の列からは，確率 $1/2$ で $x = 1$ へ移り，確率 $1/2$ で $x = 2$ に残る。したがって $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + \frac{1}{3} v_{n}$ $v_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + \frac{1}{3} v_{n} + \frac{1}{2} w_{n}$ $w_{n + 1} = \frac{1}{3} v_{n} + \frac{1}{2} w_{n}$ である。

まず第1式と第3式の差をとると $u_{n + 1} - w_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} - w_{n})$ である。 $u_{0} - w_{0} = 1$ だから $u_{n} - w_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ を得る。

次に，確率の総和は常に1なので $u_{n} + v_{n} + w_{n} = 1$ である。これを $v_{n + 1}$ の式へ代入すると

v_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + w_{n}) + \frac{1}{3} v_{n} = \frac{1}{2} (1 - v_{n}) + \frac{1}{3} v_{n} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} v_{n}

となる。この漸化式の一定値 $L$ は $L = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} L$ を満たすので $L = \frac{3}{7}$ である。よって $v_{n + 1} - \frac{3}{7} = - \frac{1}{6} (v_{n} - \frac{3}{7})$ であり， $v_{0} = 0$ から $v_{n} = \frac{3}{7} {1 - (- \frac{1}{6})^{n}}$ を得る。

最後に $u_{n} + w_{n} = 1 - v_{n}, u_{n} - w_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ であるから，和と差を用いて

u_{n} = \frac{( u _{n} + w _{n} ) + ( u _{n} - w _{n} )}{2} = \frac{1 - v _{n} + ( \frac{1}{2} ) ^{n}}{2} = \frac{1}{2} [1 - \frac{3}{7} {1 - (- \frac{1}{6})^{n}} + (\frac{1}{2})^{n}] = \frac{2}{7} + \frac{1}{2 ^{n + 1}} + \frac{3}{14} (- \frac{1}{6})^{n}

である。

したがって求める確率は $\frac{2}{7} + \frac{1}{2 ^{n + 1}} + \frac{3}{14} (- \frac{1}{6})^{n}$ である。 $n = 0$ のときも，右辺は $2/7 + 1/2 + 3/14 = 1$ となり，初期条件と一致する。

別解。左右の差 $u_{n} - w_{n}$ と中央列の確率 $v_{n}$ を最初から新しい変数にしてもよい。左右対称な成分は中央列との出入りで決まり，左右非対称な成分は端から端へ直接移らないため毎秒 $1/2$ 倍される。この見方をすると，3本の漸化式を全部解く必要はなく， $u_{n} - w_{n}$ と $v_{n}$ の2本だけで答えに到達できる。

京都大学 2016年度理系数学 第5問

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