京都大学 2016年度
理系数学 第3問

解答

$O$を原点とし，

とおく。

まず，三角形$OBC$の外心を位置ベクトル$\vec{u}$で表す。外心の定義より $|\vec{u}|=|\vec{u}-\vec{b}|=|\vec{u}-\vec{c}|$ である。$|\vec{u}{|}^2=|\vec{u}-\vec{b}{|}^2$を展開すると $\vec{u}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{b}{|}^2}{2}$ であり，同様に $\vec{u}\cdot \vec{c}=\frac{|\vec{c}{|}^2}{2}$ である。 $A$から平面$OBC$へ下ろした垂線はこの外心を通るので，$\vec{a}-\vec{u}$ は平面$OBC$上の方向$\vec{b},\vec{c}$に垂直である。したがって

を得る。

同じ議論を$B$から平面$OCA$への垂線，$C$から平面$OAB$への垂線について行うと，

も得られる。

これらを比較すると，まず $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{|\vec{a}{|}^2}{2}=\frac{|\vec{b}{|}^2}{2}$ より $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ である。同様に $|\vec{b}|=|\vec{c}|,|\vec{c}|=|\vec{a}|$ であるから，$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$ が成り立つ。その共通の2乗を$L^2$とすると，3つの内積はすべて $\frac{L^2}{2}$ である。

したがって $OA=OB=OC=L$ であり，さらに $A{B}^2=|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=L^2+L^2-2\cdot \frac{L^2}{2}=L^2$ である。同様に $B{C}^2=C{A}^2=L^2$ である。よって6辺がすべて等しいので，四面体$OABC$は正四面体である。