問題
素数を用いて
と表される素数をすべて求めよ．
出典：京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
まずがともに奇素数なら，は2より大きい偶数になり素数でない。したがって少なくとも一方は2である。対称性によりとしてよい。は直接除外し，奇素数についてはを候補として確認する。なら，かつなので，和が3で割り切れることから除外する。
解答
がともに奇素数であるとする。このときもも奇数なので， は偶数である。しかもだから，素数ではない。したがって，の少なくとも一方は2である。
式はについて対称なので，としてよい。まずなら であり，素数ではない。
次にを奇素数とする。のときは であり，これは素数である。
残りはの奇素数の場合である。このときは3で割り切れないので である。または奇数だから である。したがって となる。さらになので，これは素数ではない。
以上より，求める素数は だけである。