京都大学 2016年度理系数学第4問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において，平面 $y = z$ の中で

∣ x ∣ ≦ \frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} - 1, 0 ≦ y ≦ lo g a

で与えられる図形 $D$ を考える．ただし $a$ は1より大きい定数とする．
この図形 $D$ を $y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

出典：京都大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$y$ を固定して， $y$ 軸に垂直な平面での断面を考える。図形 $D$ は平面 $y = z$ 上にあるので，点 $(x, y, y)$ から $y$ 軸までの距離は $x^{2} + y^{2}$ である。固定した $y$ では $∣ x ∣ ≦ b (y)$ ， $b (y) = (e^{y} + e^{- y}) /2 - 1$ の線分が回転し，半径 $y$ から $y^{2} + b (y)^{2}$ までの円環を作る。断面積が $π b (y)^{2}$ になるので， $0 ≦ y ≦ lo g a$ で積分する。

解答

$y$ を固定して考える。図形 $D$ 上の点は平面 $y = z$ 上にあるので，座標は $(x, y, y)$ と書ける。この点から $y$ 軸までの距離は， $x, z$ 方向の距離であるから $x^{2} + y^{2}$ である。

ここで $b (y) = \frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} - 1$ とおく。固定した $y$ に対して， $D$ は $- b (y) ≦ x ≦ b (y)$ を満たす線分である。これを $y$ 軸のまわりに回転すると， $x = 0$ の点が半径 $y$ の円を作り， $∣ x ∣ = b (y)$ の点が半径 $y^{2} + b (y)^{2}$ の円を作る。したがって断面は円環であり，その面積は $π {y^{2} + b (y)^{2}} - π y^{2} = π b (y)^{2}$ である。

よって体積 $V$ は $V = π \int_{0}^{l o g a} (\frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} - 1)^{2} d y$ である。被積分関数を展開すると

(\frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} - 1)^{2} = \frac{e ^{2 y}}{4} - e^{y} + \frac{3}{2} - e^{- y} + \frac{e ^{- 2 y}}{4}

である。したがって

\int (\frac{e ^{y} + e ^{- y}}{2} - 1)^{2} d y = \frac{e ^{2 y}}{8} - e^{y} + \frac{3}{2} y + e^{- y} - \frac{e ^{- 2 y}}{8}

である。

これを $0$ から $lo g a$ まで代入する。 $y = lo g a$ では $e^{y} = a$ ， $e^{- y} = 1/ a$ であり， $y = 0$ では原始関数の値が $\frac{1}{8} - 1 + 0 + 1 - \frac{1}{8} = 0$ となる。よって

V = π (\frac{a ^{2}}{8} - a + \frac{3}{2} lo g a + \frac{1}{a} - \frac{1}{8 a ^{2}})

である。

別解。同じ断面を，回転してできる円板から内側の円板を除くと考えてもよい。固定した $y$ で最小半径は $x = 0$ の $y$ ，最大半径は $∣ x ∣ = b (y)$ の $y^{2} + b (y)^{2}$ であるから，断面積は $π {y^{2} + b (y)^{2}} - π y^{2}$ となる。斜めの平面にある図形だが， $y$ 軸に垂直な断面で見れば通常の円環の体積計算に帰着する。

京都大学 2016年度理系数学 第4問

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理系数学第4問