京都大学 2016年度理系数学第1問解答・解説

問題

(1) $n$ を2以上の自然数とするとき，関数

f_{n} (θ) = (1 + cos θ) sin^{n - 1} θ

の $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ における最大値 $M_{n}$ を求めよ．

(2) $n \to \infty lim (M_{n})^{n}$ を求めよ．

出典：京都大学 2016年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

端点では $f_{n} (0) = 0$ ， $f_{n} (π /2) = 1$ である。内部では正なので， $lo g f_{n} (θ)$ を微分して最大点を探す。微分条件は $n cos θ - 1 = 0$ に整理され， $cos θ = 1/ n$ で最大となる。得た $M_{n}$ を $(M_{n})^{n}$ にして， $(1 + 1/ n)^{n} \to e$ と $(1 - 1/ n^{2})^{n^{2}} \to e^{- 1}$ を使って極限を求める。

解答

(1)

$0 < θ < π /2$ では $f_{n} (θ) > 0$ であるから， $lo g f_{n} (θ) = lo g (1 + cos θ) + (n - 1) lo g (sin θ)$ を考える。これを微分すると

\frac{d}{d θ} lo g f_{n} (θ) = - \frac{sin θ}{1 + cos θ} + (n - 1) \frac{cos θ}{sin θ}

である。通分して整理すると $\frac{d}{d θ} lo g f_{n} (θ) = \frac{n c o s θ - 1}{s i n θ}$ となる。したがって内部の極値は $cos θ = \frac{1}{n}$ で起こる。 $θ$ が $0$ から $π /2$ へ増えると $cos θ$ は1から0へ減少するので， $n cos θ - 1$ は正から負へ変わる。よってこの点で最大をとる。端点では $f_{n} (0) = 0, f_{n} (\frac{π}{2}) = 1$ であり，内部の値は $(1 + \frac{1}{n}) (1 - \frac{1}{n ^{2}})^{(n - 1) /2}$ である。これは $n ≧ 2$ で1以上なので，最大値は $M_{n} = (1 + \frac{1}{n}) (1 - \frac{1}{n ^{2}})^{(n - 1) /2}$ である。

(2)

(1)より

(M_{n})^{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} (1 - \frac{1}{n ^{2}})^{n (n - 1) /2}

である。第1因子は $(1 + \frac{1}{n})^{n} \to e$ である。第2因子は

(1 - \frac{1}{n ^{2}})^{n (n - 1) /2} = {(1 - \frac{1}{n ^{2}})^{n^{2}}}^{(n - 1) / (2 n)}

と書ける。ここで

(1 - \frac{1}{n ^{2}})^{n^{2}} \to e^{- 1}, \frac{n - 1}{2 n} \to \frac{1}{2}

であるから，第2因子は $e^{- 1/2}$ へ収束する。

したがって $lim_{n \to \infty} (M_{n})^{n} = e \cdot e^{- 1/2} = e$ である。

別解。 $x = cos θ$ とおくと， $0 ≦ x ≦ 1$ で $f_{n} (θ) = (1 + x) (1 - x^{2})^{(n - 1) /2}$ となる。正の範囲で対数をとって $x$ で微分しても，最大条件は同じく $x = 1/ n$ になる。三角関数のまま微分するより， $x$ の1変数関数として見ると，後半の $1 - 1/ n^{2}$ という形が見えやすい。

京都大学 2016年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2016年度
理系数学第1問