京都大学 2011年度
理系数学 第6問

解答

点 $A$ を原点に移して考える。これは平行移動であり、球面の存在には影響しない。

とおく。$ABCD$ は四面体であるから、$\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ は同一平面上にない。

球面の中心を表すベクトルを $\vec{u}$ とする。球面が $A$ を通るなら、半径の2乗は $|\vec{u}{|}^2$ である。さらに $B$ も通るためには $|\vec{b}-\vec{u}{|}^2=|\vec{u}{|}^2$ が必要十分である。左辺を展開すると $|\vec{b}{|}^2-2\vec{u}\cdot \vec{b}+|\vec{u}{|}^2=|\vec{u}{|}^2$ だから $2\vec{u}\cdot \vec{b}=|\vec{b}{|}^2$ である。同様に、$C,D$ も通るための条件は $2\vec{u}\cdot \vec{c}=|\vec{c}{|}^2,2\vec{u}\cdot \vec{d}=|\vec{d}{|}^2$ である。

したがって、次の3条件を満たす $\vec{u}$ が存在すればよい。

ここで $\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ は同一平面上にないので、空間の任意のベクトルはこれらの一次結合で表される。

この3条件が中心をただ1つ定めることを確認する。もし2つの解 ${\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2$ があるなら、差を $\vec{w}={\vec{u}}_1-{\vec{u}}_2$ とすると $\vec{w}\cdot \vec{b}=\vec{w}\cdot \vec{c}=\vec{w}\cdot \vec{d}=0$ である。一方、$\vec{w}$ は $\vec{w}=p\vec{b}+q\vec{c}+r\vec{d}$ と表せるので、

となる。したがって $\vec{w}=\vec{0}$ であり、解は高々1つである。3本の独立な一次条件は空間内の1点を定めるので、その点を $\vec{u}$ とする。

この $\vec{u}$ を中心、$|\vec{u}|$ を半径とする球面を考えると、上の条件から $|\vec{b}-\vec{u}|=|\vec{c}-\vec{u}|=|\vec{d}-\vec{u}|=|\vec{u}|$ である。したがって、この球面は $A,B,C,D$ をすべて通る。よって四面体の4つの頂点を同時に通る球面が存在する。

別解。$AB$ の垂直二等分面上の点は $A$ と $B$ から等距離にある。同様に、$AC$、$AD$ の垂直二等分面を考える。四面体では $AB,AC,AD$ の3方向が同一平面上にないため、これら3つの垂直二等分面は1点で交わる。その交点を $P$ とすると $PA=PB,PA=PC,PA=PD$ が同時に成り立つ。よって $P$ を中心、$PA$ を半径とする球面は $A,B,C,D$ をすべて通る。