京都大学 2011年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ は2以上の整数であり， $\frac{1}{2} < a_{j} < 1$ $(j = 1, 2, \dots, n)$ であるとき，不等式

(1 - a_{1}) (1 - a_{2}) \dots (1 - a_{n}) > 1 - (a_{1} + \frac{a _{2}}{2} + \dots + \frac{a _{n}}{2 ^{n - 1}})

が成立することを示せ．

出典：京都大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

左辺の積を $P_{n}$ 、右辺を $R_{n}$ とおき、示すべき不等式を $P_{n} - R_{n} > 0$ にする。 $n$ から $n + 1$ へ移るときの差を計算すると、既知の $P_{n} - R_{n}$ と、 $a_{n + 1} (2^{- n} - P_{n})$ に分かれる。各 $a_{j} > 1/2$ から $1 - a_{j} < 1/2$ 、したがって $P_{n} < 2^{- n}$ が得られるので、帰納法で正であることを示す。

解答

$P_{n} = (1 - a_{1}) (1 - a_{2}) \dots (1 - a_{n})$ とおき、 $R_{n} = 1 - (a_{1} + \frac{a _{2}}{2} + \dots + \frac{a _{n}}{2 ^{n - 1}})$ とおく。示すべき不等式は $P_{n} > R_{n}$ である。

まず $n = 2$ のときを確認する。このとき

P_{2} - R_{2} = (1 - a_{1}) (1 - a_{2}) - (1 - a_{1} - \frac{a _{2}}{2}) = 1 - a_{1} - a_{2} + a_{1} a_{2} - 1 + a_{1} + \frac{a _{2}}{2} = a_{1} a_{2} - \frac{a _{2}}{2} = a_{2} (a_{1} - \frac{1}{2}) > 0

である。ここで $a_{2} > 0$ かつ $a_{1} > 1/2$ を用いた。

次に、ある $n ≧ 2$ で $P_{n} > R_{n}$ が成り立つと仮定する。各 $a_{j}$ は $1/2 < a_{j} < 1$ を満たすので $0 < 1 - a_{j} < \frac{1}{2}$ である。したがって $0 < P_{n} = (1 - a_{1}) \dots (1 - a_{n}) < (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{2 ^{n}}$ である。

$n + 1$ の場合を考えると、 $P_{n + 1} = P_{n} (1 - a_{n + 1})$ であり、また $R_{n + 1} = R_{n} - \frac{a _{n + 1}}{2 ^{n}}$ である。よって

P_{n + 1} - R_{n + 1} = P_{n} (1 - a_{n + 1}) - (R_{n} - \frac{a _{n + 1}}{2 ^{n}}) = P_{n} - R_{n} - a_{n + 1} P_{n} + \frac{a _{n + 1}}{2 ^{n}} = (P_{n} - R_{n}) + a_{n + 1} (\frac{1}{2 ^{n}} - P_{n}) .

帰納法の仮定より $P_{n} - R_{n} > 0$ であり、上で示したように $P_{n} < 1/ 2^{n}$ であるから $a_{n + 1} (\frac{1}{2 ^{n}} - P_{n}) > 0$ である。したがって $P_{n + 1} - R_{n + 1} > 0$ となる。

以上より、数学的帰納法によってすべての整数 $n ≧ 2$ について

(1 - a_{1}) (1 - a_{2}) \dots (1 - a_{n}) > 1 - (a_{1} + \frac{a _{2}}{2} + \dots + \frac{a _{n}}{2 ^{n - 1}})

が成立する。

京都大学 2011年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

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理系数学第4問