京都大学 2011年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で， $y = x$ のグラフと $y = \frac{3}{4} x^{2} - 3 - 2$ のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

出典：京都大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

絶対値の中身 $\frac{3}{4} x^{2} - 3$ の符号が変わるのは $x = \pm 2$ である。直線 $y = x$ との交点を、 $∣ x ∣ ≦ 2$ 側と $∣ x ∣ ≧ 2$ 側でそれぞれ求め、交点と式の切り替わり点で積分区間を分ける。右側の囲まれた部分は $x = 2$ で式が変わるので、 $[2/3, 2]$ と $[2, 10/3]$ に分けて上から下を引く。

解答

絶対値の中身は $\frac{3}{4} x^{2} - 3$ であり、これは $∣ x ∣ ≦ 2$ で0以下、 $∣ x ∣ ≧ 2$ で0以上である。したがってグラフは $y = 1 - \frac{3}{4} x^{2} (∣ x ∣ ≦ 2)$ および $y = \frac{3}{4} x^{2} - 5 (∣ x ∣ ≧ 2)$ で表される。

まず $∣ x ∣ ≦ 2$ で直線 $y = x$ と交わる点を求める。 $x = 1 - \frac{3}{4} x^{2}$ より $3 x^{2} + 4 x - 4 = 0$ であるから $(3 x - 2) (x + 2) = 0$ となり、 $x = - 2, x = \frac{2}{3}$ を得る。

次に $∣ x ∣ ≧ 2$ で交点を求める。 $x = \frac{3}{4} x^{2} - 5$ より $3 x^{2} - 4 x - 20 = 0$ であるから $(3 x - 10) (x + 2) = 0$ となり、 $x = - 2, x = \frac{10}{3}$ を得る。

したがって、囲まれる部分は、 $[- 2, 2/3]$ と $[2/3, 10/3]$ にできる2つの部分である。ただし後者は $x = 2$ で絶対値の式が切り替わる。よって面積は

\int_{- 2}^{\frac{2}{3}} (1 - \frac{3}{4} x^{2} - x) d x + \int_{\frac{2}{3}}^{2} (x - 1 + \frac{3}{4} x^{2}) d x + \int_{2}^{\frac{10}{3}} (x - \frac{3}{4} x^{2} + 5) d x

である。

それぞれ計算すると、 $\int_{- 2}^{\frac{2}{3}} (1 - \frac{3}{4} x^{2} - x) d x = \frac{64}{27}$ であり、 $\int_{\frac{2}{3}}^{2} (x - 1 + \frac{3}{4} x^{2}) d x = \frac{64}{27}$ であり、 $\int_{2}^{\frac{10}{3}} (x - \frac{3}{4} x^{2} + 5) d x = \frac{80}{27}$ である。したがって求める面積は $\frac{64}{27} + \frac{64}{27} + \frac{80}{27} = \frac{208}{27}$ である。

京都大学 2011年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

京都大学 2011年度
理系数学第3問