問題
空間で，原点を中心とする半径の球面と3点，，を通る平面が共有点を持つことを示し，点がその共有点全体の集合を動くとき，積が取り得る値の範囲を求めよ．
方針
平面 は である。まず原点からこの平面までの距離が球の半径より小さいことを示し、共有点が円として存在することを確認する。共有点上では と が成り立つので、 が固定される。そこで とおき、 を3つの実数解にもつ3次方程式 に帰着する。最後は の極大・極小を調べ、水平線 が3実根を与える範囲を読む。
解答
3点 を通る平面は である。これが平面 の方程式である。
原点 から平面 までの距離は である。一方、球面 の半径は であり、 である。したがって原点から平面までの距離は球の半径より小さく、球面 と平面 は共有点をもつ。
共有点 では かつ が成り立つ。よって より であるから である。
ここで とおく。 を3つの解にもつ3次方程式は、解と係数の関係より すなわち である。したがって共有点に対しては が3つの実数解 をもつ。
逆に、ある実数 に対して方程式 が3つの実数解 をもてば、解と係数の関係から である。このとき となるので、 は球面 と平面 の共有点である。したがって、 の範囲は、この3次方程式が3つの実数解をもつような の範囲と一致する。 とおくと、方程式は である。微分すると である。したがって は で極大、 で極小をとる。極値は および
である。
は最高次係数が正の3次関数であり、増減は
となる。よって水平線 が と3つの実数解をもつための条件は、重解を許して である。端では接して2つの異なる実数解になるが、3つの実数解を重複込みで持つので、対応する共有点は存在する。
したがって である。実際、 では根が 、 では根が となり、端点も取られる。