京都大学 2011年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の各問に答えよ．

(1) 箱の中に，1から9までの番号を1つずつ書いた9枚のカードが入っている．ただし，異なるカードには異なる番号が書かれているものとする．この箱から2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を $X$ とする．これらのカードを箱に戻して，再び2枚のカードを同時に選び，小さいほうの数を $Y$ とする． $X = Y$ である確率を求めよ．

(2) 定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x + 1) 1 - 2 x^{2} d x$ を求めよ．

出典：京都大学 2011年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は文系第1問(2)と同じ構造で、小さい方の数の分布を先に求め、2回独立に同じ値をとる確率を二乗和にする。(2)は積分を $x 1 - 2 x^{2}$ の部分と $1 - 2 x^{2}$ の部分に分ける。前者は置換積分、後者は $u = 2 x$ として単位円の面積、すなわち扇形と直角二等辺三角形の面積で評価する。

解答

(1)

2枚のカードの選び方は $_{9} C_{2} = 36$ 通りである。小さい方の数が $k$ となるには、もう1枚が $k$ より大きい数であればよい。したがって $P (X = k) = \frac{9 - k}{36} (k = 1, 2, \dots, 8)$ である。

2回目はカードを戻してから行うので、 $X$ と $Y$ は独立であり、同じ分布をもつ。よって

P (X = Y) = k = 1 \sum 8 (\frac{9 - k}{36})^{2} = \frac{1 ^{2} + 2 ^{2} + \dots + 8 ^{2}}{3 6 ^{2}}

である。ここで $1^{2} + 2^{2} + \dots + 8^{2} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204$ だから $P (X = Y) = \frac{204}{1296} = \frac{17}{108}$ である。

(2)

求める積分を $I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} (x + 1) 1 - 2 x^{2} d x$ とおく。まず

I = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x 1 - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 - 2 x^{2} d x

と分ける。

第1項について、 $u = 1 - 2 x^{2}$ とおくと $d u = - 4 x d x$ である。したがって

\int_{0}^{\frac{1}{2}} x 1 - 2 x^{2} d x = - \frac{1}{4} \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{1/2} d u = \frac{1}{4} \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{1/2} d u = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} [u^{3/2}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1}{6} (1 - \frac{1}{2 2}) .

第2項について、 $u = 2 x$ とおくと $d x = d u / 2$ であり、

\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 - 2 x^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 - u^{2} d u

である。 $y = 1 - u^{2}$ は単位円の上半分である。 $0 ≦ u ≦ 1/ 2$ の部分は、中心角 $π /4$ の扇形から直角二等辺三角形を見れば、面積 $\frac{π}{8} + \frac{1}{4}$ である。よって

\int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 - 2 x^{2} d x = \frac{1}{2} (\frac{π}{8} + \frac{1}{4}) = \frac{2 π}{16} + \frac{2}{8}

である。

以上を合わせると

I = \frac{1}{6} (1 - \frac{1}{2 2}) + \frac{2 π}{16} + \frac{2}{8} = \frac{1}{6} - \frac{2}{24} + \frac{2}{8} + \frac{2 π}{16} = \frac{1}{6} + \frac{2}{12} + \frac{2 π}{16} .

京都大学 2011年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2011年度
理系数学第1問