問題
，，を実数とし，を原点とする座標平面上において，行列によって表される1次変換をとする．この1次変換が2つの条件
(i) 点を点に移す
(ii) 点と点がによって点，にそれぞれ移るとき，の面積がである
を満たすとき，，，を求めよ．
出典：京都大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
条件(i)は、行列を に作用させて成分比較すれば と の関係が出る。条件(ii)では、 の像は行列の第1列・第2列であり、 の面積はこの2ベクトルが作る平行四辺形の面積の半分である。面積条件は絶対値付きの式になるので、最後に2通りを忘れずに戻す。
解答
条件(i)より
である。左辺を計算して成分を比較すると である。したがって となる。
次に、点 の像は行列の第1列であり、点 の像は第2列である。したがって である。
の面積は、ベクトル と が作る平行四辺形の面積の半分である。よって である。これが に等しいから である。
ここに を代入すると となる。したがって であるから である。対応する は である。
以上より である。