京都大学 2010年度理系乙数学理系乙第6問解答・解説

問題

$n$ 個のボールを $2 n$ 個の箱へ投げ入れる。各ボールはいずれかの箱に入るものとし、どの箱に入る確率も等しいとする。どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率を $p_{n}$ とする。このとき、 $n \to \infty lim \frac{lo g p _{n}}{n}$ を求めよ。

出典：京都大学 2010年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第6問

方針

全てのボールを区別して考える。全事象は $(2 n)^{n}$ 通り、全て異なる箱に入る場合は $_{2 n} P_{n}$ 通りである。確率を $(n + 1) / (2 n), (n + 2) / (2 n), \dots, 1$ の積として書き、対数を取って和へ変える。 $1/ n$ を刻み幅とする区分求積法で $\int_{0}^{1} lo g {(1 + x) /2} d x$ を計算する。

解答

各ボールの入る箱は $2 n$ 通りで、ボールごとに独立に選ぶから、全ての入れ方は $(2 n)^{n}$ 通りである。どの箱にも1個以下しか入らないためには、 $n$ 個のボールが全て異なる箱に入ればよい。その入れ方は

_{2 n} P_{n} = (2 n) (2 n - 1) \dots (n + 1)

通りである。したがって

p_{n} = \frac{( 2 n ) ( 2 n - 1 ) \dots ( n + 1 )}{( 2 n ) ^{n}} .

因子の順序を逆にして対数を取ると

\frac{lo g p _{n}}{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n lo g \frac{n + k}{2 n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n lo g (\frac{1 + k / n}{2}) .

右辺は関数 $lo g {(1 + x) /2}$ の区間 $[0, 1]$ における区分求積和である。よって

n \to \infty lim \frac{lo g p _{n}}{n} = \int_{0}^{1} lo g (\frac{1 + x}{2}) d x = [(1 + x) lo g (\frac{1 + x}{2}) - (1 + x)]_{0}^{1} = lo g 2 - 1.

したがって求める極限値は $lo g 2 - 1$ である。

京都大学 2010年度理系乙数学 理系乙 第6問

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