京都大学 2010年度理系乙数学理系乙第2問解答・解説

問題

$x$ を正の実数とする。座標平面上の3点 $A (0, 1)$ 、 $B (0, 2)$ 、 $P (x, x)$ をとり、三角形 $A P B$ を考える。 $x$ の値が変化するとき、 $∠ A P B$ の最大値を求めよ。

出典：京都大学 2010年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第2問

方針

$P A$ と $P B$ の内積と2次元の面積成分から、角 $ϕ = ∠ A P B$ の正接を求める。内積の二次式は常に正なので $0 < ϕ < π /2$ 。 $tan ϕ = x / (2 x^{2} - 3 x + 2)$ の逆数を取り、相加相乗平均により $2 x + 2/ x ≧ 4$ と評価して最大値と等号条件を同時に決める。

解答

$ϕ = ∠ A P B$ とおく。

P A = (- x, 1 - x), P B = (- x, 2 - x)

である。これらの内積は

P A \cdot P B = x^{2} + (1 - x) (2 - x) = 2 x^{2} - 3 x + 2

である。この二次式の判別式は $9 - 16 < 0$ で、係数が正だから常に正である。したがって $0 < ϕ < π /2$ である。

また2つのベクトルが作る平行四辺形の面積は

∣ (- x) (2 - x) - (1 - x) (- x) ∣ = x

であるから

tan ϕ = \frac{x}{2 x ^{2} - 3 x + 2} .

ここで $x > 0$ より

\frac{2 x ^{2} - 3 x + 2}{x} = 2 x + \frac{2}{x} - 3 ≧ 4 - 3 = 1.

等号は $2 x = 2/ x$ 、すなわち $x = 1$ のときに成り立つ。よって $tan ϕ ≦ 1$ であり、 $0 < ϕ < π /2$ で正接は増加するから

ϕ ≦ \frac{π}{4} .

$x = 1$ のとき等号が成り立つので、 $∠ A P B$ の最大値は

\frac{π}{4}

である。

京都大学 2010年度理系乙数学 理系乙 第2問

問題

方針

解答

京都大学 2010年度
理系乙数学理系乙第2問