京都大学 2010年度理系乙数学理系乙第4問解答・解説

問題

$1 < a < 2$ とする。3辺の長さが $3, a, b$ である鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする。このとき $a$ を用いて $b$ を表せ。

出典：京都大学 2010年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第4問

方針

3辺に対する角をそれぞれ置き、外接円の半径が1であることから拡張正弦定理を使う。辺 $3$ に対する角は鋭角条件により $π /3$ 。辺 $a$ に対する角を $α$ とすると $sin α = a /2$ 、第3角は $2 π /3 - α$ である。正弦の差の公式と $cos α > 0$ を用いて $b$ を求める。

解答

辺 $3, a, b$ に対する角をそれぞれ $A, B, C$ とする。外接円の半径が1であるから、拡張正弦定理より

3 = 2 sin A, a = 2 sin B, b = 2 sin C .

三角形は鋭角三角形なので $0 < A < π /2$ である。よって $sin A = 3 /2$ から

A = \frac{π}{3} .

また $0 < B < π /2$ だから

sin B = \frac{a}{2}, cos B = \frac{4 - a ^{2}}{2} .

角の和より $C = π - A - B = 2 π /3 - B$ である。したがって

b = 2 sin (\frac{2 π}{3} - B) = 2 (\frac{3}{2} cos B + \frac{1}{2} sin B) = \frac{3 4 - a ^{2} + a}{2} .

よって

b = \frac{a + 12 - 3 a ^{2}}{2}

である。

京都大学 2010年度理系乙数学 理系乙 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2010年度
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