京都大学 2010年度理系乙数学理系乙第5問解答・解説

問題

(1) $n$ を正の整数、 $a = 2^{n}$ とする。 $3^{a} - 1$ は $2^{n + 2}$ で割り切れるが $2^{n + 3}$ では割り切れないことを示せ。

(2) $m$ を正の偶数とする。 $3^{m} - 1$ が $2^{m}$ で割り切れるならば $m = 2$ または $m = 4$ であることを示せ。

出典：京都大学 2010年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第5問

方針

(1)は $3^{2^{n + 1}} - 1 = (3^{2^{n}} - 1) (3^{2^{n}} + 1)$ を用いる帰納法で、後者が2では割れるが4では割れないことを確認する。(2)では偶数 $m$ を $m = 2^{n} q$ （ $q$ は奇数）と表す。 $3^{m} - 1 = (3^{2^{n}} - 1) (1 + 3^{2^{n}} + \dots + 3^{(q - 1) 2^{n}})$ の第2因子が奇数なので、(1)から2の因子の個数が正確に分かる。最後に $m ≦ n + 2$ を満たす場合を絞る。

解答

(1)

$n = 1$ のとき

3^{2} - 1 = 8

であり、 $2^{3}$ で割り切れるが $2^{4}$ では割り切れない。

ある正の整数 $n$ について

3^{2^{n}} - 1 = 2^{n + 2} q

と書け、 $q$ が奇数であると仮定する。 $3^{2^{n}}$ は4で割ると1余るので、 $3^{2^{n}} + 1$ は2で割り切れるが4では割り切れない。したがって、ある奇数 $q^{'}$ を用いて

3^{2^{n}} + 1 = 2 q^{'}

と書ける。よって

3^{2^{n + 1}} - 1 = (3^{2^{n}} - 1) (3^{2^{n}} + 1) = 2^{n + 3} q q^{'}

であり、 $2^{n + 3}$ で割り切れるが $2^{n + 4}$ では割り切れない。数学的帰納法により、全ての正の整数 $n$ について題意が成り立つ。

(2)

$m$ は正の偶数だから

m = 2^{n} q

と書ける。ただし $n ≧ 1$ 、 $q$ は正の奇数である。 $A = 3^{2^{n}}$ とおくと

3^{m} - 1 = A^{q} - 1 = (A - 1) (1 + A + A^{2} + \dots + A^{q - 1}) .

第2因子は奇数を $q$ 個加えた数なので奇数である。(1)より $A - 1$ は $2^{n + 2}$ で割り切れるが $2^{n + 3}$ では割り切れない。したがって $3^{m} - 1$ も $2^{n + 2}$ で割り切れるが $2^{n + 3}$ では割り切れない。

仮定より $2^{m}$ が $3^{m} - 1$ を割り切るので

m ≦ n + 2.

一方 $m = 2^{n} q ≧ 2^{n}$ だから $2^{n} ≦ n + 2$ である。 $n = 3$ では $2^{3} > 3 + 2$ であり、 $2^{n} > n + 2$ なら $2^{n + 1} > 2 (n + 2) > n + 3$ なので、数学的帰納法により $n ≧ 3$ では $2^{n} > n + 2$ である。したがって、 $n = 1$ または $n = 2$ だけを調べればよい。

$n = 1$ のとき $2 q = m ≦ 3$ かつ $q$ は正の奇数なので $q = 1$ 、 $m = 2$ である。 $n = 2$ のとき $4 q = m ≦ 4$ より $q = 1$ 、 $m = 4$ である。したがって $m = 2$ または $m = 4$ である。

京都大学 2010年度理系乙数学 理系乙 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2010年度
理系乙数学理系乙第5問