京都大学 2010年度理系乙数学理系乙第3問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とする。座標平面において曲線 $y = sin x$ （ $0 ≦ x ≦ π$ ）と $x$ 軸とで囲まれた図形の面積を $S$ とし、曲線 $y = sin x$ （ $0 ≦ x ≦ π /2$ ）、曲線 $y = a cos x$ （ $0 ≦ x ≦ π /2$ ）および $x$ 軸で囲まれた図形の面積を $T$ とする。このとき $S : T = 3 : 1$ となるような $a$ の値を求めよ。

出典：京都大学 2010年度前期日程第2次学力試験（理系乙）理系乙理系乙第3問

方針

まず $S = \int_{0}^{π} sin x d x$ を求める。 $T$ では2曲線の交点を $α$ と置き、 $tan α = a$ を得る。閉領域の上端は $[0, α]$ では $sin x$ 、 $[α, π /2]$ では $a cos x$ なので積分を分ける。 $sin α, cos α$ を $a$ で表し、面積比の方程式を解く。

解答

まず

S = \int_{0}^{π} sin x d x = 2

である。 $0 < α < π /2$ において2曲線が交わるとすると

sin α = a cos α, tan α = a .

したがって

sin α = \frac{a}{1 + a ^{2}}, cos α = \frac{1}{1 + a ^{2}} .

閉領域の上端は $0 ≦ x ≦ α$ では $y = sin x$ 、 $α ≦ x ≦ π /2$ では $y = a cos x$ だから

T = \int_{0}^{α} sin x d x + \int_{α}^{π /2} a cos x d x = 1 - cos α + a (1 - sin α) = 1 + a - 1 + a^{2} .

条件 $S : T = 3 : 1$ と $S = 2$ より $T = 2/3$ である。したがって

1 + a - 1 + a^{2} = \frac{2}{3}, 1 + a^{2} = a + \frac{1}{3} .

両辺は正なので2乗して

1 + a^{2} = a^{2} + \frac{2 a}{3} + \frac{1}{9}

となる。これを解くと

a = \frac{4}{3}

である。この値は正で、もとの等式も満たす。

京都大学 2010年度理系乙数学 理系乙 第3問

問題

方針

解答

京都大学 2010年度
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