問題
四面体においてと，と，とはそれぞれ垂直であるとする．このとき，頂点，頂点および辺の中点の3点を通る平面は辺と直交することを示せ．
出典：京都大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験／前期日程 第2次学力試験（理系乙） 理系 第2問／理系乙 理系乙 第1問
方針
辺 の中点 を原点に置き， を と対称に表す。すると， から へのベクトルと， から へのベクトルが符号違いで書けるので，2つの垂直条件の差から を得る。さらに から を得て，この2式を合わせて が ， の両方に垂直であることを示す。
解答
辺 の中点を とする。 を原点にとり， とおく。また とおく。
まず， より
であるから である。すなわち
である。
同様に， より
だから である。すなわち
である。
この2式を引くと となるので を得る。
一方， である。ここで
だから である。すなわち である。
以上の2式 を足し引きすると を得る。
これは， の方向ベクトルである が，平面 上の2本の直線 ， の方向にともに垂直であることを意味する。四面体は退化していないので， は一直線上にはなく， と は平面 の2つの異なる方向を与える。
したがって， は平面 に垂直である。すなわち，頂点 ，頂点 ，辺 の中点 を通る平面は，辺 と直交する。