京都大学 2004年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$N + 1$ 箱のうち箱 $N + 1$ だけに赤玉、他に白玉が入る。 $k = 1, 2, \dots, N + 1$ の順に、箱 $k$ と、他の $N$ 箱から等確率で選んだ1箱の中身を交換する。終了後に赤玉が箱 $N + 1$ にある確率を求めよ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

最初の $N$ 回で赤玉が一度でも箱 $N + 1$ から出ると、その後は既に操作済みの箱へ移り続け、箱 $N + 1$ へは最終操作前に戻らない。したがって最終操作直前まで箱 $N + 1$ に残る確率を求め、最後の交換を場合分けする。

最初の $N$ 回の操作では、赤玉が箱 $N + 1$ にある限り、その箱が交換相手に選ばれない確率は毎回

\frac{N - 1}{N}

である。いったん選ばれると赤玉はその時の箱 $k$ に移る。その後、赤玉が交換相手として選ばれれば、その時点の箱へ移るが、それらはいずれも操作を終えた箱である。したがって最終操作より前に箱 $N + 1$ へ戻ることはない。

よって最初の $N$ 回の後にも赤玉が箱 $N + 1$ にある確率は

(\frac{N - 1}{N})^{N} .

最後の $k = N + 1$ の操作では、赤玉が箱 $N + 1$ にあれば必ず外へ出る。赤玉が他の箱にあれば、その箱が交換相手に選ばれる確率 $1/ N$ で箱 $N + 1$ に入る。したがって求める確率は

\frac{1}{N} {1 - (\frac{N - 1}{N})^{N}} .