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京都大学 2004年度
理系数学前期第1問

試験区分: 前期日程第2次学力試験
対象: 理系
分野: 三角関数、関数
解法: 置換、展開・因数分解、範囲評価
難易度: 3 / 10　　計算量 3 / 10　　目安 8分

問題

$f (θ) = cos 4 θ - 4 sin^{2} θ$ とする。 $0 ≦ θ ≦ 3 π /4$ における最大値・最小値を求めよ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

$x = sin^{2} θ$ と置く。指定区間でも $x$ は0から1までの全ての値をとるので、同じ区間上の2次関数の最大最小になる。

解答

$x = sin^{2} θ$ とおく。 $0 ≦ θ ≦ 3 π /4$ では $x$ は $[0, 1]$ の全ての値をとる。また

f (θ) = 1 - 8 sin^{2} θ cos^{2} θ - 4 sin^{2} θ = 8 x^{2} - 12 x + 1 = 8 (x - \frac{3}{4})^{2} - \frac{7}{2} .

よって $x = 3/4$ のとき最小値 $- 7/2$ をとる。最大値は端点 $x = 0, 1$ で比較し

f (0) = 1, f (1) = - 3

だから1である。したがって

max f = 1, min f = - \frac{7}{2} .