京都大学 2004年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$x^{2 n}$ を $x^{2} - x + (n - 1) / n^{2}$ で割った余りを $a_{n} x + b_{n}$ とする。 $lim a_{n}, lim b_{n}$ を求めよ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

除式を $(x - 1/ n) (x - (n - 1) / n)$ と因数分解し、2つの根を恒等式へ代入して余りの1次式を決める。得られた式で標準極限 $(1 - 1/ n)^{2 n} \to e^{- 2}$ を使う。

$n > 2$ とする。除式は

x^{2} - x + \frac{n - 1}{n ^{2}} = (x - \frac{1}{n}) (x - \frac{n - 1}{n})

と因数分解できる。 $r = 1/ n, s = (n - 1) / n$ とおくと

a_{n} r + b_{n} = r^{2 n}, a_{n} s + b_{n} = s^{2 n} .

差をとって

a_{n} = \frac{s ^{2 n} - r ^{2 n}}{s - r} = \frac{n}{n - 2} {(1 - \frac{1}{n})^{2 n} - \frac{1}{n ^{2 n}}} .

したがって

n \to \infty lim a_{n} = e^{- 2} .

また第1式から

b_{n} = \frac{1}{n ^{2 n}} - \frac{a _{n}}{n} .

$a_{n}$ は収束するから

n \to \infty lim b_{n} = 0.

よって

lim a_{n} = e^{- 2}, lim b_{n} = 0.