京都大学 2004年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

$A = (2101), B = (α 0 0 β)$ とする。任意の2次正方行列 $Y$ に対し $A X - X B = Y$ を満たす $X$ が存在するための $α, β$ の必要十分条件を求めよ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

$X, Y$ の4成分を置いて $A X - X B = Y$ を成分比較する。第1列と第2列が独立な2元連立方程式になり、それぞれが任意の右辺に対して解ける行列式条件を求める。

$X = (x_{ij}), Y = (y_{ij})$ とおく。成分比較すると

y_{11} y_{12} = (2 - α) x_{11}, = (2 - β) x_{12}, y_{21} y_{22} = x_{11} + (1 - α) x_{21}, = x_{12} + (1 - β) x_{22} .

第1列について、任意の $(y_{11}, y_{21})$ に対して $(x_{11}, x_{21})$ が存在するための必要十分条件は

(2 - α) (1 - α) \neq = 0.

同様に第2列については

(2 - β) (1 - β) \neq = 0

である。したがって求める必要十分条件は

α \neq = 1, 2, β \neq = 1, 2

である。実際、この条件のもとでは上の4式を上から順に解いて、任意の $Y$ に対する $X$ を構成できる。