京都大学 2004年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$a > 0$ とし、 $x > 0$ で $f (x) = (e / x^{a} - 1) (lo g x) / x$ とする。グラフより下側で $x$ 軸より上側の部分の面積を $a$ で表せ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

2因子の符号を調べ、 $f (x) > 0$ となる区間が $1 < x < e^{1/ a}$ であることを確定する。面積積分では $u = lo g x$ と置く。

$lo g x$ は $x = 1$ で符号が変わり、 $e / x^{a} - 1$ は $x = e^{1/ a}$ で符号が変わる。 $a > 0$ だから

f (x) > 0 ⟺ 1 < x < e^{1/ a} .

したがって面積 $S$ は

S = \int_{1}^{e^{1/ a}} (\frac{e}{x ^{a}} - 1) \frac{lo g x}{x} d x .

$u = lo g x$ とおくと $d x / x = d u$ 、積分区間は $0 ≦ u ≦ 1/ a$ となるので

S = \int_{0}^{1/ a} (e e^{- a u} - 1) u d u .

部分積分により

\int_{0}^{1/ a} u e^{- a u} d u = \frac{1 - 2/ e}{a ^{2}} .

よって

S = \frac{e - 2}{a ^{2}} - \frac{1}{2 a ^{2}} = \frac{2 e - 5}{2 a ^{2}} .