京都大学 2004年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

非実数 $α$ とする。複素平面の円 $C$ が $1, - 1, α$ を通るなら、 $C$ は $- 1/ \overline{α}$ も通ることを示せ。

出典：京都大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

1と $- 1$ から等距離にある円の中心は虚軸上にある。中心を $i t$ と置き、円の方程式を $∣ z ∣^{2} - 2 t Im z = 1$ と書く。 $w = - 1/ \overline{α} = - α /∣ α ∣^{2}$ を代入する。

円 $C$ の中心は、1と $- 1$ の垂直二等分線である虚軸上にある。中心を $i t$ （ $t$ は実数）とすると、半径の二乗は $∣1 - i t ∣^{2} = 1 + t^{2}$ だから、円の方程式は

∣ z - i t ∣^{2} = 1 + t^{2},

すなわち

∣ z ∣^{2} - 2 t Im z = 1.

$α \in C$ より

∣ α ∣^{2} - 2 t Im α = 1.

ここで

w = - \frac{1}{α} = - \frac{α}{∣ α ∣ ^{2}}

とおくと

∣ w ∣^{2} - 2 t Im w = \frac{1 + 2 t Im α}{∣ α ∣ ^{2}} .

上の $α$ の式から $2 t Im α = ∣ α ∣^{2} - 1$ なので、右辺は1である。よって $w$ は円の方程式を満たし

- \frac{1}{α} \in C

が示された。