問題
チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべてで，各回の勝敗は独立に決まるものとする．このとき，勝1敗のチームがちょうど2チームである確率を求めよ．ただし，は3以上とする．
方針
まず 勝1敗になる2チームを選び、2チーム同士の勝敗を決める。その後、片方の唯一の敗戦相手を残りチームから選び、固定された試合と自由な試合を分けて数える。最後に3チーム目も 勝1敗になってしまう場合だけを除き、全事象数で割る。
解答
全試合数は であり、すべての勝敗の総数は である。
ちょうど2チームが 勝1敗になる場合を数える。まず、その2チームを選ぶ方法は 通りである。選ばれた2チームを とし、ここでは が に勝つ場合を考える。 の直接対戦の勝敗は2通りあるので、最後に2倍すればよい。 が に勝つとする。 が 勝1敗であるためには、 の唯一の敗戦は との試合でなければならない。したがって は、 以外のすべてのチームに勝つ。
一方、 も 勝1敗であり、すでに には勝っている。よって に勝つチームを、残り チームの中から1つ選ぶ必要がある。この選び方は 通りである。このチームを とする。すると は に勝ち、 は 以外の残りのチームにはすべて勝つ。
ここまでで、 と他のチームとの試合はすべて決まった。残る自由な試合は、 を除く チーム同士の試合であり、その数は である。したがって一見すると 通りある。
ただし、この中には も 勝1敗になってしまう場合が含まれている。 はすでに に負け、 に勝っているので、残りの チームすべてに勝つと、 も 勝1敗になる。この場合は除かなければならない。 が残り チームすべてに勝つことを固定すると、それ以外の残り チーム同士の試合は自由であり、その数は 通りである。
なお、 以外の残りのチームは、すでに と の両方に負けているため、 勝1敗になることはない。したがって除くべき場合は上の の場合だけである。
以上より、条件を満たす勝敗表の数は
である。したがって求める確率は
である。