京都大学 2003年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を実数とする．2次の正方行列 $A = (a c b d)$ と2次の単位行列 $E$ に対して，集合 $L (A)$ を $L (A) = {r E + s A ∣ r, s は実数}$ とする．このとき次の条件(＊)が成立するための， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ についての必要十分条件を求めよ．

(＊) $L (A)$ の要素 $B$ は零行列でなければ逆行列をもつ

出典：京都大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$B = r E + s A$ の行列式を $r, s$ の2次式として表す。 $s = 0$ の場合は先に処理し、 $s \neq = 0$ では $t = r / s$ とおいて1変数2次式に帰着する。零でないすべての $B$ が可逆になる条件は、この2次式が実数解をもたないこと、すなわち判別式が負であることに対応する。

解答

$B = r E + s A$ とおくと

B = (r + s a sc s b r + s d)

である。したがって

det B = (r + s a) (r + s d) - s^{2} b c = r^{2} + (a + d) r s + (a d - b c) s^{2} .

すべての零行列でない $B \in L (A)$ が逆行列をもつためには、 $(r, s) \neq = (0, 0)$ のとき常に $r^{2} + (a + d) r s + (a d - b c) s^{2} \neq = 0$ であることが必要十分である。 $s = 0$ のときは、 $(r, s) \neq = (0, 0)$ より $r \neq = 0$ であり、 $det B = r^{2} > 0$ だから問題はない。そこで $s \neq = 0$ とし、 $t = r / s$ とおく。このとき条件は $t^{2} + (a + d) t + (a d - b c) \neq = 0$ がすべての実数 $t$ について成り立つことと同値である。

2次式 $t^{2} + (a + d) t + (a d - b c)$ は上に開く放物線である。すべての実数 $t$ で0にならないためには、実数解をもたないことが必要十分であり、判別式が負であればよい。すなわち $(a + d)^{2} - 4 (a d - b c) < 0$ である。整理すると $a^{2} - 2 a d + d^{2} + 4 b c < 0$ だから $(a - d)^{2} + 4 b c < 0$ が求める必要十分条件である。

実際、この不等式が成り立てば上の2次式は実数解をもたないので、 $s \neq = 0$ の場合も $det B \neq = 0$ である。逆にこの不等式が成り立たなければ、判別式が0以上となり、ある実数 $t$ で2次式が0になる。そのとき $(r, s) = (t, 1)$ とすれば、零行列ではないにもかかわらず $det (r E + s A) = 0$ となる。したがって条件は確かに必要十分である。

京都大学 2003年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

京都大学 2003年度
理系数学第5問