京都大学 2003年度
理系数学 第4問

解答

$\omega$ を ${\omega }^2+\omega +1=0,{\omega }^3=1,\omega \ne 1$ を満たす数とする。$x^2+x+1$ の2つの根は $\omega ,{\omega }^2$ である。

多項式 $P(x)=(x^{100}+1{)}^{100}+(x^2+1{)}^{100}+1$ を考える。$100\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ であるから ${\omega }^{100}=\omega$ である。また $\omega +1=-{\omega }^2,{\omega }^2+1=-\omega$ である。したがって

同様に、${\omega }^2$ を代入しても $({\omega }^2{)}^{100}={\omega }^2$ を用いれば $P({\omega }^2)=0$ となる。

よって $P(x)$ は $x^2+x+1$ の2つの根をともに根にもつ。したがって

別解。$x^2+x+1$ で割った余りだけを計算してもよい。 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ であるから、$x^2+x+1$ で割った余りを考えるときは $x^3\equiv 1$ と同じ扱いができる。したがって $100\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ より $x^{100}\equiv x$ である。また $x+1\equiv -x^2,x^2+1\equiv -x$ であるから

よって $P(x)$ は $x^2+x+1$ で割り切れる。