京都大学 2003年度理系数学第1問解答・解説

問題

正の数からなる数列 ${a_{n}}$ が次の条件(i)，(ii)をみたすとき， $k = 1 \sum n a_{k}$ を求めよ．

(i) $a_{1} = 1$

(ii) $lo g a_{n} - lo g a_{n - 1} = lo g (n - 1) - lo g (n + 1)$ $(n ≧ 2)$

出典：京都大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

対数の差を指数に戻して $a_{n} / a_{n - 1}$ を求める。得られた積は連続する因子が約分されるので、 $a_{n}$ を簡単な分数で表す。最後は部分分数分解で和を望ましい形にし、 $n = 1$ でも式が合うことを確認する。

解答

条件より、 $n ≧ 2$ に対して $lo g a_{n} - lo g a_{n - 1} = lo g (n - 1) - lo g (n + 1)$ である。左辺と右辺をそれぞれまとめると $lo g \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = lo g \frac{n - 1}{n + 1}$ となる。 $a_{n} > 0$ なので対数を外して $\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n - 1}{n + 1}$ を得る。 $a_{1} = 1$ から順に掛け合わせると、 $n ≧ 2$ について

a_{n} = a_{1} j = 2 \prod n \frac{j - 1}{j + 1} = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \dots \frac{n - 1}{n + 1} = \frac{2}{n ( n + 1 )} .

この式は $n = 1$ のときも $2/ (1 \cdot 2) = 1$ となり、 $a_{1} = 1$ と一致する。したがってすべての $n ≧ 1$ で $a_{n} = \frac{2}{n ( n + 1 )}$ である。

よって

k = 1 \sum n a_{k} = k = 1 \sum n \frac{2}{k ( k + 1 )} = 2 k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 2 (1 - \frac{1}{n + 1}) = \frac{2 n}{n + 1} .

京都大学 2003年度理系数学 第1問

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京都大学 2003年度
理系数学第1問