京都大学 2003年度理系数学第2問解答・解説

問題

$f (x) = x sin x$ $(x ≧ 0)$ とする．点 $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ における $y = f (x)$ の法線と， $y = f (x)$ のグラフの $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の部分，および $y$ 軸とで囲まれる図形を考える．この図形を $x$ 軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ．

出典：京都大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

まず接線の傾きから法線を求める。回転体の体積は、法線を上側、曲線を下側とする円環の断面積を積分する形にする。上下関係を確認したうえで、 $x^{2} sin^{2} x$ は半角公式と部分積分で計算する。

解答

$f (x) = x sin x$ とおくと $f^{'} (x) = sin x + x cos x$ である。したがって $f^{'} (\frac{π}{2}) = 1$ であり、接線の傾きは $1$ 、法線の傾きは $- 1$ である。点 $(π /2, π /2)$ を通るから、法線は $y - \frac{π}{2} = - (x - \frac{π}{2})$ すなわち $y = π - x$ である。 $0 ≦ x ≦ π /2$ において $g (x) = π - x - x sin x$ とおくと $g^{'} (x) = - 1 - sin x - x cos x < 0$ であり、 $g (π /2) = 0$ である。よってこの区間で法線 $y = π - x$ は曲線 $y = x sin x$ の上側にある。したがって、求める体積 $V$ は $V = π \int_{0}^{π /2} {(π - x)^{2} - (x sin x)^{2}} d x$ である。

まず

\int_{0}^{π /2} (π - x)^{2} d x = [- \frac{( π - x ) ^{3}}{3}]_{0}^{π /2} = \frac{7 π ^{3}}{24} .

次に、 $sin^{2} x = (1 - cos 2 x) /2$ を用いて

\int_{0}^{π /2} x^{2} sin^{2} x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} x^{2} d x - \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} x^{2} cos 2 x d x .

部分積分により

\int_{0}^{π /2} x^{2} cos 2 x d x = [\frac{x ^{2} sin 2 x}{2}]_{0}^{π /2} - \int_{0}^{π /2} x sin 2 x d x = - \int_{0}^{π /2} x sin 2 x d x = - [- \frac{x cos 2 x}{2} + \frac{sin 2 x}{4}]_{0}^{π /2} = - \frac{π}{4} .

したがって

\int_{0}^{π /2} x^{2} sin^{2} x d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{π ^{3}}{24} - \frac{1}{2} (- \frac{π}{4}) = \frac{π ^{3}}{48} + \frac{π}{8} .

以上より

V = π (\frac{7 π ^{3}}{24} - \frac{π ^{3}}{48} - \frac{π}{8}) = π (\frac{13 π ^{3}}{48} - \frac{π}{8}) = \frac{π ^{2} ( 13 π ^{2} - 6 )}{48} .

京都大学 2003年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

京都大学 2003年度
理系数学第2問