京都大学 2003年度
理系数学 第3問

解答

$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$、$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$、$\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$ とおく。条件 $AB\perp OC,$ より $(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot \mathbf{c}=0$ であるから、$\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$ である。同様に $BC\perp OA,CA\perp OB$ より

が成り立つ。したがって3つの内積

はすべて等しい。この共通値を $p$ とおく。

また $|\mathbf{a}{|}^2=x,|\mathbf{b}{|}^2=y,|\mathbf{c}{|}^2=z$ とおく。三角形 $OAB,OBC,OCA$ の面積の2乗はそれぞれ $\frac{xy-p^2}{4},\frac{yz-p^2}{4},\frac{zx-p^2}{4}$ である。4つの面の面積がすべて等しいので、特にこの3つは等しく、$xy=yz=zx$ を得る。$x,y,z>0$ であるから $x=y=z=s$ とおける。

このとき三角形 $OAB$ の面積の2乗は $\frac{s^2-p^2}{4}$ である。一方、三角形 $ABC$ について

とすると $|\mathbf{b}-\mathbf{a}{|}^2=2(s-p),|\mathbf{c}-\mathbf{a}{|}^2=2(s-p),$ また $(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{a})=p-p-p+s=s-p$ である。よって三角形 $ABC$ の面積の2乗は

面積が等しいから $s^2-p^2=3(s-p{)}^2.$ 四面体はつぶれていないので $s-p>0$ であり、両辺を $s-p$ で割ると $s+p=3(s-p)$ となる。したがって $p=\frac{s}{2}$ である。

最後に各辺の長さを比べると $O{A}^2=O{B}^2=O{C}^2=s$ であり、また $A{B}^2=|\mathbf{b}-\mathbf{a}{|}^2=2(s-p)=s$ である。同様に $B{C}^2=C{A}^2=s$ である。したがって6本の辺はすべて等しく、四面体 $OABC$ は正四面体である。